x^2-4≥0

Решим неравенство \( x^2 - 4 \geq 0 \) пошагово.

Шаг 1: Приведение неравенства к стандартной форме

Неравенство написано в стандартной форме. Оно выглядит так: \[ x^2 - 4 \geq 0 \]

Шаг 2: Приведение к известному виду

Мы можем переписать выражение \( x^2 - 4 \) как разность квадратов: \[ x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2) \] Таким образом, неравенство принимает вид: \[ (x - 2)(x + 2) \geq 0 \]

Шаг 3: Определение нулевых точек

Найдём значения \( x \), при которых произведение равно нулю: \[ (x - 2) = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 2 \] \[ (x + 2) = 0 \quad \Rightarrow \quad x = -2 \] Таким образом, нулевыми точками являются \( x = -2 \) и \( x = 2 \).

Шаг 4: Определение знака произведения

Теперь будем анализировать знак произведения \( (x - 2)(x + 2) \) на интервалах, полученных от нулевых точек:

1. Интервал \( (-\infty, -2) \):

   • Возьмём, например, \( x = -3 \): \[ (-3 - 2)(-3 + 2) = (-5)(-1) = 5 \quad (\text{положительно}) \]

2. Интервал \( (-2, 2) \):

   • Возьмём, например, \( x = 0 \): \[ (0 - 2)(0 + 2) = (-2)(2) = -4 \quad (\text{отрицательно}) \]

3. Интервал \( (2, +\infty) \):

   • Возьмём, например, \( x = 3 \): \[ (3 - 2)(3 + 2) = (1)(5) = 5 \quad (\text{положительно}) \]

Шаг 5: Подведение результатов

Теперь мы знаем, что:

• На интервале \( (-\infty, -2) \) произведение положительное.
• На интервале \( (-2, 2) \) произведение отрицательное.
• На интервале \( (2, +\infty) \) произведение положительное.

Шаг 6: Включение граничных точек

Неравенство \( (x - 2)(x + 2) \geq 0 \) включает точки, где произведение равно нулю. Это означает, что значения \( x = -2 \) и \( x = 2 \) также удовлетворяют неравенству.

Ответ

Таким образом, совместив все части, решение неравенства: \[ x \in (-\infty, -2] \cup [2, +\infty) \]

Это значит, что все значения \( x \), которые меньше или равны -2, а также все значения, которые больше или равны 2, являются решениями данного неравенства.