Log²5х - log5x = 2

Давайте решим уравнение логарифмов: \[ \log^2(5x) - \log(5x) = 2 \] Для удобства вводим новую переменную: \[ y = \log(5x) \] Теперь заменяем логарифмы в уравнении: \[ y^2 - y = 2 \] Это квадратное уравнение, которое можно переписать в стандартной форме: \[ y^2 - y - 2 = 0 \] Далее найдём корни этого квадратного уравнения с помощью дискриминанта. Формула дискриминанта выглядит так: \[ D = b^2 - 4ac \] Где \( a = 1 \), \( b = -1 \), \( c = -2 \): \[ D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) \] \[ D = 1 + 8 \] \[ D = 9 \] Теперь найдем корни уравнения с помощью формулы: \[ y = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \] Подставляем наши значения: \[ y = \frac{1 \pm \sqrt{9}}{2 \cdot 1} \] \[ y = \frac{1 \pm 3}{2} \] Теперь найдем два значения для \( y \): 1. \( y_1 = \frac{1 + 3}{2} = \frac{4}{2} = 2 \) 2. \( y_2 = \frac{1 - 3}{2} = \frac{-2}{2} = -1 \) Теперь у нас есть два значения для \( y \): 1. \( y_1 = 2 \) 2. \( y_2 = -1 \) Теперь возвращаемся к логарифмам. Помним, что \( y = \log(5x) \). Таким образом, получаем два уравнения: 1. \( \log(5x) = 2 \) 2. \( \log(5x) = -1 \) Решим первое уравнение: \[ \log(5x) = 2 \Rightarrow 5x = 10^2 = 100 \] Отсюда: \[ x = \frac{100}{5} = 20 \] Теперь решим второе уравнение: \[ \log(5x) = -1 \Rightarrow 5x = 10^{-1} = 0.1 \] Отсюда: \[ x = \frac{0.1}{5} = 0.02 \] Таким образом, у нас есть два значения для \( x \): 1. \( x_1 = 20 \) 2. \( x_2 = 0.02 \) В итоге, решение уравнения: **Корни:** \( x = 20 \) и \( x = 0.02 \). Если что-то осталось непонятным или вам нужно больше объяснений, дайте знать!