log²5х - log5x = 2

Давайте решим уравнение логарифмов:

\[ \log^2(5x) - \log(5x) = 2 \]

Для удобства вводим новую переменную:

\[ y = \log(5x) \]

Теперь заменяем логарифмы в уравнении:

\[ y^2 - y = 2 \]

Это квадратное уравнение, которое можно переписать в стандартной форме:

\[ y^2 - y - 2 = 0 \]

Далее найдём корни этого квадратного уравнения с помощью дискриминанта. Формула дискриминанта выглядит так:

\[ D = b^2 - 4ac \]

Где \( a = 1 \), \( b = -1 \), \( c = -2 \):

\[ D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) \] \[ D = 1 + 8 \] \[ D = 9 \]

Теперь найдем корни уравнения с помощью формулы:

\[ y = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \]

Подставляем наши значения:

\[ y = \frac{1 \pm \sqrt{9}}{2 \cdot 1} \] \[ y = \frac{1 \pm 3}{2} \]

Теперь найдем два значения для \( y \):

1. \( y_1 = \frac{1 + 3}{2} = \frac{4}{2} = 2 \)
2. \( y_2 = \frac{1 - 3}{2} = \frac{-2}{2} = -1 \)

Теперь у нас есть два значения для \( y \):

1. \( y_1 = 2 \)
2. \( y_2 = -1 \)

Теперь возвращаемся к логарифмам. Помним, что \( y = \log(5x) \). Таким образом, получаем два уравнения:

1. \( \log(5x) = 2 \)
2. \( \log(5x) = -1 \)

Решим первое уравнение:

\[ \log(5x) = 2 \Rightarrow 5x = 10^2 = 100 \]

Отсюда:

\[ x = \frac{100}{5} = 20 \]

Теперь решим второе уравнение:

\[ \log(5x) = -1 \Rightarrow 5x = 10^{-1} = 0.1 \]

Отсюда:

\[ x = \frac{0.1}{5} = 0.02 \]

Таким образом, у нас есть два значения для \( x \):

1. \( x_1 = 20 \)
2. \( x_2 = 0.02 \)

В итоге, решение уравнения:

Корни: \( x = 20 \) и \( x = 0.02 \).

Если что-то осталось непонятным или вам нужно больше объяснений, дайте знать!