4. Найдите радиус шара, если расстояние от центра шара до плоскости сечения равно 3 см, а радиус сечения равен 7 см.

Для решения задачи используем геометрическое соотношение в сфере. У нас есть сфера (шар) с центром \( O \) и радиусом \( R \). Плоскость сечения пересекает шар, образуя круг с радиусом \( r = 7 \) см. Расстояние от центра шара до плоскости сечения равно \( d = 3 \) см.

Мы можем использовать теорему Пифагора в контексте трехмерной геометрии. Из центра шара \( O \) проведем перпендикуляр к плоскости сечения, и точка пересечения будет \( P \). Тогда \( OP = d = 3 \) см. Радиус окружности сечения, \( PQ = r = 7 \) см, является частью прямой линии от точки \( P \) до любой точки на окружности сечения.

По теореме Пифагора в треугольнике \( OQP \):

\[ OQ^2 = OP^2 + PQ^2 \]

Подставим известные значения:

\[ R^2 = d^2 + r^2 = 3^2 + 7^2 = 9 + 49 = 58 \]

Отсюда находим радиус \( R \):

\[ R = \sqrt{58} \]

Таким образом, радиус шара равен \(\sqrt{58}\) см.