Дана прямоугольная трапеция АВСD (∠A = 90°), в которую вписана окружность раднусом 9 см. Сторона CD равна 24 см. Найди среднюю линию трапеции.

Для решения задачи о прямоугольной трапеции, в которую вписана окружность, будем следовать пошаговому подходу.

Шаг 1: Понимание условий задачи

У нас есть прямоугольная трапеция \(ABCD\) с \( \angle A = 90° \), что значит, что стороны \(AD\) и \(AB\) перпендикулярны. Окружность радиусом 9 см вписана в эту трапецию, и одна из оснований, \(CD\), равна 24 см. Мы должны найти среднюю линию трапеции.

Шаг 2: Определения

Средняя линия трапеции (или среднее основание) — это отрезок, соединяющий середины боковых сторон и равный полусумме оснований:

\[ m = \frac{AB + CD}{2} \]

где \(AB\) — верхнее основание, а \(CD\) — нижнее основание.

Шаг 3: Вспомним свойства вписанной окружности

Для прямоугольной трапеции, радиус вписанной окружности (r) связан с основаниями (в данном случае \(AB\) и \(CD\)) и высотой (h):

\[ r = \frac{AB + CD - AD - BC}{2} \]

Однако для прямоугольной трапеции с основанием \(CD = 24\), где \( \angle A = 90° \) и радиус окружности равен 9 см, это можно переписать с учётом высоты \(AD\) или \(BC\), поскольку они равны.

Шаг 4: Найдем высоту

Поскольку радиус окружности равен 9 см, это значит, что:

\[ 9 = \frac{AB + 24 - AD - BC}{2} \]

Для прямоугольной трапеции, где \(AD\) и \(BC\) равны (обозначим их как \(h\)), это будет:

\[ 9 = \frac{AB + 24 - 2h}{2} \]

Сначала можем выразить \(h\):

\[ 18 = AB + 24 - 2h \] \[ 2h = AB + 24 - 18 \] \[ 2h = AB + 6 \] \[ h = \frac{AB + 6}{2} \]

Шаг 5: Проводим анализ для нахождения среднего основания

Если мы знаем \(r\) и \(CD\), основной задачей остается найти \(AB\). Используя формулу \(r = h\), где \(h\) — это высота:

Поскольку \(r = 9\), мы можем подставить значение \(h\) в уравнение:

\[ 9 = \frac{AB + 6}{2} \quad \Rightarrow \quad 18 = AB + 6 \quad \Rightarrow \quad AB = 12 \]

Теперь у нас есть значение обоих оснований:

• \(AB = 12\)
• \(CD = 24\)

Шаг 6: Находим среднюю линию

Теперь можем найти среднюю линию трапеции \(m\):

\[ m = \frac{AB + CD}{2} = \frac{12 + 24}{2} = \frac{36}{2} = 18 \text{ см} \]

Ответ

Средняя линия трапеции равна 18 см.