Для решения задачи о прямоугольной трапеции, в которую вписана окружность, будем следовать пошаговому подходу.
Шаг 1: Понимание условий задачи
У нас есть прямоугольная трапеция (ABCD) с ( \angle A = 90° ), что значит, что стороны (AD) и (AB) перпендикулярны. Окружность радиусом 9 см вписана в эту трапецию, и одна из оснований, (CD), равна 24 см. Мы должны найти среднюю линию трапеции.
Шаг 2: Определения
Средняя линия трапеции (или среднее основание) — это отрезок, соединяющий середины боковых сторон и равный полусумме оснований:
[
m = \frac{AB + CD}{2}
]
где (AB) — верхнее основание, а (CD) — нижнее основание.
Шаг 3: Вспомним свойства вписанной окружности
Для прямоугольной трапеции, радиус вписанной окружности (r) связан с основаниями (в данном случае (AB) и (CD)) и высотой (h):
[
r = \frac{AB + CD - AD - BC}{2}
]
Однако для прямоугольной трапеции с основанием (CD = 24), где ( \angle A = 90° ) и радиус окружности равен 9 см, это можно переписать с учётом высоты (AD) или (BC), поскольку они равны.
Шаг 4: Найдем высоту
Поскольку радиус окружности равен 9 см, это значит, что:
[
9 = \frac{AB + 24 - AD - BC}{2}
]
Для прямоугольной трапеции, где (AD) и (BC) равны (обозначим их как (h)), это будет:
[
9 = \frac{AB + 24 - 2h}{2}
]
Сначала можем выразить (h):
[
18 = AB + 24 - 2h
]
[
2h = AB + 24 - 18
]
[
2h = AB + 6
]
[
h = \frac{AB + 6}{2}
]
Шаг 5: Проводим анализ для нахождения среднего основания
Если мы знаем (r) и (CD), основной задачей остается найти (AB). Используя формулу (r = h), где (h) — это высота:
Поскольку (r = 9), мы можем подставить значение (h) в уравнение:
[
9 = \frac{AB + 6}{2} \quad \Rightarrow \quad 18 = AB + 6 \quad \Rightarrow \quad AB = 12
]
Теперь у нас есть значение обоих оснований:
Шаг 6: Находим среднюю линию
Теперь можем найти среднюю линию трапеции (m):
[
m = \frac{AB + CD}{2} = \frac{12 + 24}{2} = \frac{36}{2} = 18 \text{ см}
]
Ответ
Средняя линия трапеции равна 18 см.
