Докажите, что функция у = F(x) является первообразной для функции у = f(x), если F(x) = 0,3x10 + 2x² - 4x, f(x) = = 3x + 14x6 - 4.
Чтобы доказать, что функция \( y = F(x) \) является первообразной для функции \( y = f(x) \), нам необходимо показать, что производная функции \( F(x) \) равна функции \( f(x) \).
Дадим определения для \( F(x) \) и \( f(x) \):
\[ F(x) = 0.3x^{10} + 2x^2 - 4x \] \[ f(x) = 3x + 14x^6 - 4 \]
Теперь найдем производную функции \( F(x) \).
Шаг 1: Найдите производную \( F'(x) \)
Для первого термина \( 0.3x^{10} \): \[ \frac{d}{dx}(0.3x^{10}) = 0.3 \cdot 10x^{9} = 3x^{9} \]
Для второго термина \( 2x^2 \): \[ \frac{d}{dx}(2x^2) = 2 \cdot 2x^{1} = 4x \]
Для третьего термина \( -4x \): \[ \frac{d}{dx}(-4x) = -4 \]
Теперь объединяем все результаты производных: \[ F'(x) = 3x^{9} + 4x - 4 \]
Шаг 2: Сравните \( F'(x) \) с \( f(x) \)
Расписываем \( f(x) \) для сравнения: \[ f(x) = 3x + 14x^{6} - 4 \]
Теперь сравним \( F'(x) \) и \( f(x) \):
- \( F'(x) = 3x^{9} + 4x - 4 \)
- \( f(x) = 3x + 14x^{6} - 4 \)
Как видно, \( F'(x) \) не равна \( f(x) \), и это уже говорит о том, что \( F(x) \) не является первообразной для \( f(x) \).
Заключение
Мы можем заключить, что функция \( y = F(x) \) не является первообразной для функции \( y = f(x) \), так как их производные не совпадают.
