Катер прошёл от пункта A A до пункта B B , расстояние между которыми составляет 72 72 км, пробыл в пункте B B 30 30 минут и вернулся обратно в пункт A A через 7 , 5 7,5 часов…

Давайте решим задачу пошагово, чтобы понять, как найти скорость течения реки.

Дано:

• Расстояние от пункта A до пункта B: \( d = 72 \) км
• Время пребывания в пункте B: \( t_B = 30 \) минут = \( \frac{30}{60} = 0.5 \) ч
• Общее время в пути (от A до B и обратно): \( T = 7.5 \) ч
• Собственная скорость катера: \( v_k = 21 \) км/ч (это скорость относительно стоячей воды)

Нахождение времени в пути

Сначала давайте обозначим скорость течения реки за \( v_t \). Теперь у нас есть два этапа: путь от A до B и путь от B до A.

1. Путь от A до B:

   • Скорость катера против течения: \( v_{AB} = v_k - v_t = 21 - v_t \)
   • Время в пути от A до B: \[ t_{AB} = \frac{d}{v_{AB}} = \frac{72}{21 - v_t} \]

2. Путь от B до A:

   • Скорость катера по течению: \( v_{BA} = v_k + v_t = 21 + v_t \)
   • Время в пути от B до A: \[ t_{BA} = \frac{d}{v_{BA}} = \frac{72}{21 + v_t} \]

Общее время в пути

Общее время в пути, включая время на отдых в пункте B, можно записать как: \[ T = t_{AB} + t_B + t_{BA} \] Подставим значения: \[ 7.5 = \frac{72}{21 - v_t} + 0.5 + \frac{72}{21 + v_t} \]

Упрощение уравнения

Уберем \( 0.5 \) из уравнения: \[ 7.5 - 0.5 = \frac{72}{21 - v_t} + \frac{72}{21 + v_t} \] \[ 7 = \frac{72}{21 - v_t} + \frac{72}{21 + v_t} \]

Умножим обе стороны на \( (21 - v_t)(21 + v_t) \) для устранения дробей: \[ 7(21 - v_t)(21 + v_t) = 72(21 + v_t) + 72(21 - v_t) \] Упрощаем: \[ 7(441 - v_t^2) = 72 \times 21 + 72 v_t + 72 \times 21 - 72 v_t \] \[ 7(441 - v_t^2) = 2 \times 72 \times 21 \] \[ 7(441 - v_t^2) = 3024 \] Делим обе стороны на 7: \[ 441 - v_t^2 = \frac{3024}{7} \] \[ 441 - v_t^2 = 432 \]

Решаем уравнение

Тогда: \[ -v_t^2 = 432 - 441 \] \[ -v_t^2 = -9 \] \[ v_t^2 = 9 \] \[ v_t = 3 \text{ км/ч} \]

Ответ

Скорость течения реки составляет \( 3 \text{ км/ч} \).

Таким образом, мы пришли к результату, что скорость течения реки равна \( 3 \) км/ч, следуя логике и расчетам, основанным на заданной информации.