Давайте решим задачу пошагово, чтобы понять, как найти скорость течения реки.
Дано:
- Расстояние от пункта A до пункта B: ( d = 72 ) км
- Время пребывания в пункте B: ( t_B = 30 ) минут = ( \frac{30}{60} = 0.5 ) ч
- Общее время в пути (от A до B и обратно): ( T = 7.5 ) ч
- Собственная скорость катера: ( v_k = 21 ) км/ч (это скорость относительно стоячей воды)
Нахождение времени в пути
Сначала давайте обозначим скорость течения реки за ( v_t ). Теперь у нас есть два этапа: путь от A до B и путь от B до A.
Путь от A до B:
- Скорость катера против течения: ( v_{AB} = v_k - v_t = 21 - v_t )
- Время в пути от A до B:
[
t_{AB} = \frac{d}{v_{AB}} = \frac{72}{21 - v_t}
]
Путь от B до A:
- Скорость катера по течению: ( v_{BA} = v_k + v_t = 21 + v_t )
- Время в пути от B до A:
[
t_{BA} = \frac{d}{v_{BA}} = \frac{72}{21 + v_t}
]
Общее время в пути
Общее время в пути, включая время на отдых в пункте B, можно записать как:
[
T = t_{AB} + t_B + t_{BA}
]
Подставим значения:
[
7.5 = \frac{72}{21 - v_t} + 0.5 + \frac{72}{21 + v_t}
]
Упрощение уравнения
Уберем ( 0.5 ) из уравнения:
[
7.5 - 0.5 = \frac{72}{21 - v_t} + \frac{72}{21 + v_t}
]
[
7 = \frac{72}{21 - v_t} + \frac{72}{21 + v_t}
]
Умножим обе стороны на ( (21 - v_t)(21 + v_t) ) для устранения дробей:
[
7(21 - v_t)(21 + v_t) = 72(21 + v_t) + 72(21 - v_t)
]
Упрощаем:
[
7(441 - v_t^2) = 72 \times 21 + 72 v_t + 72 \times 21 - 72 v_t
]
[
7(441 - v_t^2) = 2 \times 72 \times 21
]
[
7(441 - v_t^2) = 3024
]
Делим обе стороны на 7:
[
441 - v_t^2 = \frac{3024}{7}
]
[
441 - v_t^2 = 432
]
Решаем уравнение
Тогда:
[
-v_t^2 = 432 - 441
]
[
-v_t^2 = -9
]
[
v_t^2 = 9
]
[
v_t = 3 \text{ км/ч}
]
Ответ
Скорость течения реки составляет ( 3 \text{ км/ч} ).
Таким образом, мы пришли к результату, что скорость течения реки равна ( 3 ) км/ч, следуя логике и расчетам, основанным на заданной информации.
