Даны векторы a=(-20;10;-15) и b(k;-2;3). При каком значении k векторы a и b перпендикулярны

Для определения условия, при котором векторы \( \mathbf{a} \) и \( \mathbf{b} \) перпендикулярны, мы воспользуемся свойством скалярного произведения векторов. Напомним, что два вектора \( \mathbf{a} \) и \( \mathbf{b} \) перпендикулярны, если их скалярное произведение равно нулю.

Шаг 1: Найдем скалярное произведение векторов

Векторы заданы следующим образом: \[ \mathbf{a} = (-20; 10; -15) \] \[ \mathbf{b} = (k; -2; 3) \]

Скалярное произведение \( \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} \) вычисляется по формуле: \[ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_1 \cdot b_1 + a_2 \cdot b_2 + a_3 \cdot b_3 \]

Подставим значения: \[ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = (-20) \cdot k + 10 \cdot (-2) + (-15) \cdot 3 \]

Теперь посчитаем каждое произведение:

1. \( -20 \cdot k = -20k \)
2. \( 10 \cdot (-2) = -20 \)
3. \( -15 \cdot 3 = -45 \)

Шаг 2: Преобразуем выражение

Теперь подставим все полученные значения в формулу для скалярного произведения: \[ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = -20k - 20 - 45 \] \[ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = -20k - 65 \]

Шаг 3: Установим условие перпендикулярности

Для перпендикулярности векторов мы ставим равенство скалярного произведения нулю: \[ -20k - 65 = 0 \]

Шаг 4: Решим уравнение

Преобразуем уравнение для нахождения \( k \): \[ -20k = 65 \] \[ k = -\frac{65}{20} \] \[ k = -\frac{13}{4} \quad \text{или} \quad k = -3.25 \]

Ответ

Векторы \( \mathbf{a} \) и \( \mathbf{b} \) перпендикулярны при \( k = -3.25 \).

Заключение

Таким образом, чтобы векторы были перпендикулярны, значение \( k \) должно быть равно \( -3.25 \).