Для определения условия, при котором векторы ( \mathbf{a} ) и ( \mathbf{b} ) перпендикулярны, мы воспользуемся свойством скалярного произведения векторов. Напомним, что два вектора ( \mathbf{a} ) и ( \mathbf{b} ) перпендикулярны, если их скалярное произведение равно нулю.
Шаг 1: Найдем скалярное произведение векторов
Векторы заданы следующим образом:
[
\mathbf{a} = (-20; 10; -15)
]
[
\mathbf{b} = (k; -2; 3)
]
Скалярное произведение ( \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} ) вычисляется по формуле:
[
\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_1 \cdot b_1 + a_2 \cdot b_2 + a_3 \cdot b_3
]
Подставим значения:
[
\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = (-20) \cdot k + 10 \cdot (-2) + (-15) \cdot 3
]
Теперь посчитаем каждое произведение:
- ( -20 \cdot k = -20k )
- ( 10 \cdot (-2) = -20 )
- ( -15 \cdot 3 = -45 )
Шаг 2: Преобразуем выражение
Теперь подставим все полученные значения в формулу для скалярного произведения:
[
\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = -20k - 20 - 45
]
[
\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = -20k - 65
]
Шаг 3: Установим условие перпендикулярности
Для перпендикулярности векторов мы ставим равенство скалярного произведения нулю:
[
-20k - 65 = 0
]
Шаг 4: Решим уравнение
Преобразуем уравнение для нахождения ( k ):
[
-20k = 65
]
[
k = -\frac{65}{20}
]
[
k = -\frac{13}{4} \quad \text{или} \quad k = -3.25
]
Ответ
Векторы ( \mathbf{a} ) и ( \mathbf{b} ) перпендикулярны при ( k = -3.25 ).
Заключение
Таким образом, чтобы векторы были перпендикулярны, значение ( k ) должно быть равно ( -3.25 ).
