5.113. Решите уравнение: 1) (x + 2) ^ 3 = x ^ 3 + 8 2) (3x - 1) ^ 3 = 27x ^ 3 - 1

Давайте разберем каждую из двух задач по очереди.

Задача 1: Решите уравнение (x + 2) ^ 3 = x ^ 3 + 8

Шаг 1: Применить формулу куба суммы.
Равнение (x + 2) ^ 3 можно раскрыть с помощью формулы куба суммы:
\[ (a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 \]
В нашем случае \(a = x\) и \(b = 2\). Таким образом, мы можем записать:
\[ (x + 2)^3 = x^3 + 3(x^2)(2) + 3(x)(2^2) + 2^3 \]
\[ = x^3 + 3(2)x^2 + 3(4)x + 8 \]
\[ = x^3 + 6x^2 + 12x + 8 \]

Шаг 2: Упростить уравнение.
Подставим результат в наше уравнение:
\[ x^3 + 6x^2 + 12x + 8 = x^3 + 8 \]
Теперь вычтем \(x^3 + 8\) с обеих сторон:
\[ x^3 + 6x^2 + 12x + 8 - (x^3 + 8) = 0 \]
\[ 6x^2 + 12x = 0 \]

Шаг 3: Вынести общий множитель.
Вынесем общий множитель \(6x\):
\[ 6x(x + 2) = 0 \]

Шаг 4: Найти корни уравнения.
Теперь у нас есть два множителя, которые мы можем приравнять к нулю:

1. \(6x = 0 \Rightarrow x = 0\)
2. \(x + 2 = 0 \Rightarrow x = -2\)

Ответ: Корни уравнения: \(x = 0\) и \(x = -2\).

Задача 2: Решите уравнение (3x - 1) ^ 3 = 27x ^ 3 - 1

Шаг 1: Применить формулу куба.
Сначала распишем левую часть уравнения:
\[ (3x - 1)^3 = (3x)^3 - 3(3x)^2(1) + 3(3x)(1^2) - 1^3 \]
Это будет:
\[ 27x^3 - 27x^2 + 9x - 1 \]

Шаг 2: Приравнять к правой части.
Распишем уравнение:
\[ 27x^3 - 27x^2 + 9x - 1 = 27x^3 - 1 \]

Шаг 3: Упростить уравнение.
Теперь вычтем правую часть из левой:
\[ 27x^3 - 27x^2 + 9x - 1 - (27x^3 - 1) = 0 \]
\[ -27x^2 + 9x = 0 \]

Шаг 4: Вынести общий множитель.
Вынесем общий множитель \(-9x\):
\[ -9x(3x - 1) = 0 \]

Шаг 5: Найти корни уравнения.
Теперь у нас два множителя:

1. \(-9x = 0 \Rightarrow x = 0\)
2. \(3x - 1 = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{3}\)

Ответ: Корни уравнения: \(x = 0\) и \(x = \frac{1}{3}\).

Таким образом, мы подробно разобрали оба уравнения. Если у вас есть дополнительные вопросы или необходимы разъяснения по какому-либо шагу, дайте мне знать!