5.113. Решите уравнение: 1) (x + 2) ^ 3 = x ^ 3 + 8 2) (3x - 1) ^ 3 = 27x ^ 3 - 1

Давайте разберем каждую из двух задач по очереди. ### Задача 1: Решите уравнение (x + 2) ^ 3 = x ^ 3 + 8 **Шаг 1: Применить формулу куба суммы.** Равнение (x + 2) ^ 3 можно раскрыть с помощью формулы куба суммы: \[ (a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 \] В нашем случае \(a = x\) и \(b = 2\). Таким образом, мы можем записать: \[ (x + 2)^3 = x^3 + 3(x^2)(2) + 3(x)(2^2) + 2^3 \] \[ = x^3 + 3(2)x^2 + 3(4)x + 8 \] \[ = x^3 + 6x^2 + 12x + 8 \] **Шаг 2: Упростить уравнение.** Подставим результат в наше уравнение: \[ x^3 + 6x^2 + 12x + 8 = x^3 + 8 \] Теперь вычтем \(x^3 + 8\) с обеих сторон: \[ x^3 + 6x^2 + 12x + 8 - (x^3 + 8) = 0 \] \[ 6x^2 + 12x = 0 \] **Шаг 3: Вынести общий множитель.** Вынесем общий множитель \(6x\): \[ 6x(x + 2) = 0 \] **Шаг 4: Найти корни уравнения.** Теперь у нас есть два множителя, которые мы можем приравнять к нулю: 1) \(6x = 0 \Rightarrow x = 0\) 2) \(x + 2 = 0 \Rightarrow x = -2\) **Ответ:** Корни уравнения: \(x = 0\) и \(x = -2\). --- ### Задача 2: Решите уравнение (3x - 1) ^ 3 = 27x ^ 3 - 1 **Шаг 1: Применить формулу куба.** Сначала распишем левую часть уравнения: \[ (3x - 1)^3 = (3x)^3 - 3(3x)^2(1) + 3(3x)(1^2) - 1^3 \] Это будет: \[ 27x^3 - 27x^2 + 9x - 1 \] **Шаг 2: Приравнять к правой части.** Распишем уравнение: \[ 27x^3 - 27x^2 + 9x - 1 = 27x^3 - 1 \] **Шаг 3: Упростить уравнение.** Теперь вычтем правую часть из левой: \[ 27x^3 - 27x^2 + 9x - 1 - (27x^3 - 1) = 0 \] \[ -27x^2 + 9x = 0 \] **Шаг 4: Вынести общий множитель.** Вынесем общий множитель \(-9x\): \[ -9x(3x - 1) = 0 \] **Шаг 5: Найти корни уравнения.** Теперь у нас два множителя: 1) \(-9x = 0 \Rightarrow x = 0\) 2) \(3x - 1 = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{3}\) **Ответ:** Корни уравнения: \(x = 0\) и \(x = \frac{1}{3}\). --- Таким образом, мы подробно разобрали оба уравнения. Если у вас есть дополнительные вопросы или необходимы разъяснения по какому-либо шагу, дайте мне знать!