На уровне моря измерено атмосферное давление 1040 гПа. На какой высоте атмосферное давление уменьшается в два раза, если принять, что температура воздуха по всей высоте 0 °С
Чтобы определить высоту, на которой атмосферное давление уменьшается в два раза, необходимо воспользоваться барометрической формулой. Для этого применим идеальные предпосылки, учитывающие, что температура остаётся постоянной (изотермический процесс).
Дано:
- Начальное атмосферное давление \( P_0 = 1040 \) гПа (гектопаскалей)
- Атмосферное давление на высоте \( h \): \( P = \frac{P_0}{2} = 520 \) гПа
- Температура \( T = 0 \) °C (или 273.15 K)
Формула:
Базовая барометрическая формула при изотермических условиях:
\[ P = P_0 \cdot e^{-\frac{Mgh}{RT}} \]
где:
- \( P \) — давление на высоте \( h \),
- \( P_0 \) — давление на уровне моря,
- \( M \) — молярная масса воздуха (примерно 0.029 kg/mol),
- \( g \) — ускорение свободного падения (примерно 9.81 m/s²),
- \( R \) — универсальная газовая постоянная (примерно 8.314 J/(mol·K)),
- \( T \) — температура в Кельвинах (273.15 K),
- \( h \) — высота, которую мы хотим найти.
Шаги решения:
Подставим известные значения в формулу:
\[ 520 = 1040 \cdot e^{-\frac{Mgh}{RT}} \]
Перепишем уравнение:
Разделим обе стороны уравнения на \( 1040 \):
\[ \frac{520}{1040} = e^{-\frac{Mgh}{RT}} \]
Это упрощается до:
\[ 0.5 = e^{-\frac{Mgh}{RT}} \]
Логарифмируем обе стороны:
Для этого используем натуральный логарифм:
\[ \ln(0.5) = -\frac{Mgh}{RT} \]
Извлечем высоту \( h \):
Перепишем уравнение так:
\[ h = -\frac{RT \cdot \ln(0.5)}{Mg} \]
Подставляем значения:
\( M = 0.029 \, \text{kg/mol} \)
\( R = 8.314 \, \text{J/(mol·K)} \)
\( g = 9.81 \, \text{m/s²} \)
\( T = 273.15 \, \text{K} \)
Теперь подставим все значения в уравнение:
\[ h = -\frac{(8.314 \, \text{J/(mol·K)})(273.15 \, \text{K}) \cdot \ln(0.5)}{(0.029 \, \text{kg/mol})(9.81 \, \text{m/s²})} \]
- Вычисляем:
Сначала найдем \( \ln(0.5) \):
\[ \ln(0.5) \approx -0.693 \]
Теперь подставим значение \( \ln(0.5) \):
\[ h \approx -\frac{(8.314)(273.15)(-0.693)}{(0.029)(9.81)} \]
Посчитаем числитель и знаменатель отдельно:
Числитель:
\[ 8.314 \times 273.15 \times -0.693 \approx - 6.168 \, \text{kJ} \approx -6168 \, \text{J} \]
Знаменатель:
\[ 0.029 \times 9.81 \approx 0.28449 \, \text{kg·m/s²} \approx 0.28449 \, \text{N} \]
Теперь целиком:
\[ h \approx \frac{6168}{0.28449} \approx 21772 \, \text{m} \]
Таким образом, на высоте приблизительно 21 772 метра давление уменьшается в два раза.
