Чтобы найти вероятность того, что все выбранные для расклейки листовок волонтёры будут мальчиками, давай разберёмся с деталями задачи и используем формулы для подсчёта вероятностей.
Шаг 1: Определим исходные данные
- Общее количество волонтёров: 30 человек
- Количество девочек: 15 человек
- Следовательно, количество мальчиков: (30 - 15 = 15) человек
Шаг 2: Определим количество выбираемых
Выбираем 4 человека для расклейки листовок.
Шаг 3: Посчитаем общее количество способов выбрать 4 человека из 30
Формула для нахождения количества сочетаний (когда порядок не важен) выглядит так:
[
C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!}
]
где:
- (n) — общее количество элементов,
- (k) — количество выбираемых элементов,
- "!" — факториал числа (например, (5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120)).
Для нашего случая (n = 30) и (k = 4):
[
C(30, 4) = \frac{30!}{4!(30-4)!} = \frac{30!}{4! \cdot 26!}
]
Прежде чем вычислить это значение, заметим, что можно сократить:
[
C(30, 4) = \frac{30 \times 29 \times 28 \times 27}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = \frac{30 \times 29 \times 28 \times 27}{24}
]
Теперь спокойно считаем:
[
30 \times 29 = 870,
]
[
870 \times 28 = 24360,
]
[
24360 \times 27 = 657720,
]
[
C(30, 4) = \frac{657720}{24} = 27405
]
Шаг 4: Посчитаем количество способов выбрать 4 мальчиков
Теперь мы найдем количество способов выбрать 4 мальчиков из 15. Используем ту же формулу:
[
C(15, 4) = \frac{15!}{4!(15-4)!} = \frac{15!}{4! \cdot 11!}
]
Сокращаем:
[
C(15, 4) = \frac{15 \times 14 \times 13 \times 12}{4 \times 3 \times 2 \times 1}
]
Теперь продолжаем считать:
[
15 \times 14 = 210,
]
[
210 \times 13 = 2730,
]
[
2730 \times 12 = 32760,
]
[
C(15, 4) = \frac{32760}{24} = 1365
]
Шаг 5: Находим вероятность
Теперь, чтобы найти вероятность того, что все выбранные окажутся мальчиками, используем формулу для вероятности:
[
P(A) = \frac{\text{количество благоприятных исходов}}{\text{общее количество исходов}} = \frac{C(15, 4)}{C(30, 4)}
]
Подставляем значения:
[
P(A) = \frac{1365}{27405}
]
Шаг 6: Упростим дробь
Теперь упростим данную дробь. Для этого можно воспользоваться делением числа и найти наибольший общий делитель (НОД), или просто сделать усреднённые вычисления:
Упрощаем:
[
P(A) \approx 0.0498 \quad (\text{или около } 4.98%)
]
Ответ
Вероятность того, что все выбранные для расклейки листовок окажутся мальчиками, составляет приблизительно 0.0498, что соответствует 4.98%.
