4

Чтобы доказать, что треугольник \( \triangle TSP \) равнобедренный, нужно показать равенство двух его сторон. Для этого мы можем использовать формулу для вычисления расстояния между двумя точками:

\[ d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \]

Точки: \( T(-5, 2) \), \( S(7, 2) \), \( P(1, -6) \).

1. Найдем длину стороны \( TS \):

   \[ d_{TS} = \sqrt{(7 - (-5))^2 + (2 - 2)^2} = \sqrt{(12)^2 + 0^2} = \sqrt{144} = 12 \]

2. Найдем длину стороны \( SP \):

   \[ d_{SP} = \sqrt{(1 - 7)^2 + (-6 - 2)^2} = \sqrt{(-6)^2 + (-8)^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 \]

3. Найдем длину стороны \( TP \):

   \[ d_{TP} = \sqrt{(1 - (-5))^2 + (-6 - 2)^2} = \sqrt{(6)^2 + (-8)^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 \]

Таким образом, стороны \( SP \) и \( TP \) равны (равны 10), что доказывает, что треугольник \( \triangle TSP \) равнобедренный.