Знаменатель геометрической прогрессии равен 3, а сумма пяти первых её членов равна 605. Найдите первый член этой геометрической прогрессии.
Чтобы решить эту задачу, давайте вспомним, что такое геометрическая прогрессия и как вычисляется сумма её членов.
Определение
Геометрическая прогрессия — это последовательность чисел, в которой каждое следующее число получается путем умножения предыдущего на одно и то же число, называемое знаменателем прогрессии.
Если:
- \( a \) — первый член прогрессии,
- \( q \) — знаменатель прогрессии,
- \( n \) — количество членов,
то сумма первых \( n \) членов геометрической прогрессии можно вычислить по формуле:
\[ S_n = a \frac{1 - q^n}{1 - q} \]
где \( S_n \) — сумма первых \( n \) членов, если \( q \neq 1 \).
Дано
- Знаменатель \( q = 3 \)
- Сумма первых пяти членов \( S_5 = 605 \)
- Нам нужно найти первый член \( a \).
Подставим значения в формулу
Подставим наши значения в формулу суммы:
\[ S_5 = a \frac{1 - q^5}{1 - q} \]
Вычисливаем \( q^5 \)
Сначала вычислим \( q^5 \):
\[ q^5 = 3^5 = 243 \]
Теперь подставим это значение в формулу суммы:
\[ 605 = a \frac{1 - 243}{1 - 3} \]
Упростим
Теперь упростим выражение:
\[ 605 = a \frac{1 - 243}{1 - 3} = a \frac{-242}{-2} = a \cdot 121 \]
Выразим \( a \)
Теперь можем выразить \( a \):
\[ 605 = 121a \]
\[ a = \frac{605}{121} \]
Посчитаем \( a \)
Теперь разделим:
\[ a = 5 \]
Ответ
Таким образом, первый член геометрической прогрессии равен \( \boxed{5} \).
