Чтобы решить эту задачу, давайте вспомним, что такое геометрическая прогрессия и как вычисляется сумма её членов.
Определение
Геометрическая прогрессия — это последовательность чисел, в которой каждое следующее число получается путем умножения предыдущего на одно и то же число, называемое знаменателем прогрессии.
Если:
- ( a ) — первый член прогрессии,
- ( q ) — знаменатель прогрессии,
- ( n ) — количество членов,
то сумма первых ( n ) членов геометрической прогрессии можно вычислить по формуле:
[
S_n = a \frac{1 - q^n}{1 - q}
]
где ( S_n ) — сумма первых ( n ) членов, если ( q \neq 1 ).
Дано
- Знаменатель ( q = 3 )
- Сумма первых пяти членов ( S_5 = 605 )
- Нам нужно найти первый член ( a ).
Подставим значения в формулу
Подставим наши значения в формулу суммы:
[
S_5 = a \frac{1 - q^5}{1 - q}
]
Вычисливаем ( q^5 )
Сначала вычислим ( q^5 ):
[
q^5 = 3^5 = 243
]
Теперь подставим это значение в формулу суммы:
[
605 = a \frac{1 - 243}{1 - 3}
]
Упростим
Теперь упростим выражение:
[
605 = a \frac{1 - 243}{1 - 3} = a \frac{-242}{-2} = a \cdot 121
]
Выразим ( a )
Теперь можем выразить ( a ):
[
605 = 121a
]
[
a = \frac{605}{121}
]
Посчитаем ( a )
Теперь разделим:
[
a = 5
]
Ответ
Таким образом, первый член геометрической прогрессии равен ( \boxed{5} ).
