Давайте решим каждую из задач по порядку.
Задача 1:
В прямоугольном треугольнике ДКЕ угол D равен 30°, угол Е равен 90°. Нам нужно найти гипотенузу ДК, если катет КЕ равен 3,7 см.
Определим элементы треугольника:
- Мы знаем, что в прямоугольном треугольнике один из углов равен 30°, а другой — 90° (прямой угол). Соответственно, третий угол (угол К) будет равен 60° (поскольку сумма углов треугольника равна 180°).
- Гипотенуза ДК находится напротив прямого угла, а катет КЕ находится напротив угла D.
Используем тригонометрические соотношения:
- В прямоугольном треугольнике с углом 30° и 60° существует известное соотношение: гипотенуза равна удвоенной длине противолежащего катета (в данном случае КЕ).
- Угол 30° — это треугольник с соотношениями:
- противолежащий к 30° угол (КЕ) = ( \frac{1}{2} ) гипотенузы (ДК).
Следовательно:
[
ДК = 2 \cdot КЕ = 2 \cdot 3,7 , \text{см} = 7,4 , \text{см}.
]
Таким образом, гипотенуза ДК равна 7,4 см.
Задача 2:
Угол при вершине равнобедренного треугольника равен 120°, высота, проведённая к боковой стороне, равна 8 см. Найдите основание этого треугольника.
Определим положение высоты:
- Высота делит основание на две равные части и образует два прямоугольных треугольника с углом 60° (половина угла 120°) и прилежащей стороной 8 см.
Найдём половину основания (x):
- Используем соотношение в прямоугольном треугольнике:
[
\tan(60°) = \frac{\text{противолежащий катет (высота)}}{\text{прилежащий катет (половина основания)}}
]
[
\sqrt{3} = \frac{8}{x} \quad \Rightarrow \quad x = \frac{8}{\sqrt{3}}.
]
Для упрощения умножим и разделим на (\sqrt{3}):
[
x = \frac{8\sqrt{3}}{3}.
]
Найдём основание:
- Поскольку половина основания одна, полное основание будет в два раза больше:
[
основание = 2x = 2 \cdot \frac{8\sqrt{3}}{3} = \frac{16\sqrt{3}}{3} \approx 9,24 , \text{см}.
]
Таким образом, основание равнобедренного треугольника равно примерно 9,24 см.
Задача 3:
Один из углов прямоугольного треугольника равен 60°, сумма гипотенузы и меньшего из катетов равна 27 см. Найдите гипотенузу.
Обозначим длины сторон:
- Пусть гипотенуза (c) и меньший катет (a). Тогда по условию задачи:
[
a + c = 27.
]
Запишем соотношения в треугольнике:
- Используя тригонометрию, мы знаем, что:
[
\sin(60°) = \frac{a}{c} = \frac{\sqrt{3}}{2}.
]
Это означает:
[
a = \frac{\sqrt{3}}{2}c.
]
Подставим выражение для (a) в уравнение:
[
\frac{\sqrt{3}}{2}c + c = 27.
]
Сложим:
[
\left(\frac{\sqrt{3}}{2} + 1\right)c = 27.
]
Приведём к общему знаменателю:
[
\left(\frac{\sqrt{3} + 2}{2}\right)c = 27 \quad \Rightarrow \quad c = \frac{54}{\sqrt{3} + 2}.
]
Упростим выражение для гипотенузы (c):
Умножим на сопряженное выражение:
[
c = \frac{54(\sqrt{3} - 2)}{(\sqrt{3})^2 - 2^2} = \frac{54(\sqrt{3} - 2)}{3 - 4} = -54(\sqrt{3} - 2).
]
Мы взяли модуль, поскольку длина не может быть отрицательной:
[
c = 54(2 - \sqrt{3}) \approx 54(0,268) \approx 14,48 см \quad (\text{при округлении}) .
]
Проверим значение (a):
[
a = 27 - c = 27 - 14,48 = 12,52 см.
]
Таким образом, гипотенуза прямоугольного треугольника равна примерно 14,48 см.
На этом завершаем решение задач. Если у вас есть дополнительные вопросы или нужны пояснения, пожалуйста, дайте знать!
