Экономисты Тридевятого царства выяснили, что зависимость поступления в бюджет налогов с продажи сапогов-скороходов является квадратичной функцией от ставки налога на продажу…
Экономисты Тридевятого царства выяснили, что зависимость поступления в бюджет налогов с продажи сапогов-скороходов является квадратичной функцией от ставки налога на продажу сапогов-скороходов. Известно, что при налоговой ставке 10% в бюджет ежегодно будет поступать 1,3 млрд фантиков, при налоговой ставке 33% в бюджет также будет поступать 1,3 млрд фантиков, а при налоговой ставке 27% – уже 1,6 млрд фантиков. Какая ставка налога на продажу сапогов-скороходов приведёт к максимальным поступлениям в бюджет Тридевятого царства указанных налогов? Ответ укажите в процентах.
Для решения данной задачи, начнем с анализа предоставленных данных. Мы знаем, что зависимость поступления налогов от налоговой ставки является квадратичной функцией. Запишем это в виде уравнения:
\[ P(x) = ax^2 + bx + c \]
где \( P(x) \) — это поступления в бюджет в миллиардах фантиков, \( x \) — налоговая ставка.
Согласно условию задачи, у нас есть следующие точки:
- \( P(10) = 1.3 \) (при налоговой ставке 10%)
- \( P(33) = 1.3 \) (при налоговой ставке 33%)
- \( P(27) = 1.6 \) (при налоговой ставке 27%)
Мы имеем три уравнения, и нам нужно использовать их, чтобы найти коэффициенты \( a \), \( b \) и \( c \).
Шаг 1: Составление уравнений
Для точки 1:
\( P(10) = a(10)^2 + b(10) + c = 1.3 \)
\[ 100a + 10b + c = 1.3 \quad (1) \]
Для точки 2:
\( P(33) = a(33)^2 + b(33) + c = 1.3 \)
\[ 1089a + 33b + c = 1.3 \quad (2) \]
Для точки 3:
\( P(27) = a(27)^2 + b(27) + c = 1.6 \)
\[ 729a + 27b + c = 1.6 \quad (3) \]
Теперь у нас есть система из трёх уравнений.
Шаг 2: Выразим c и уберем его из уравнений
Из первого уравнения выразим \( c \): \[ c = 1.3 - 100a - 10b \]
Подставим это значение в остальные уравнения (2) и (3).
Подставим в (2): \[ 1089a + 33b + (1.3 - 100a - 10b) = 1.3 \] Это упрощается до: \[ (1089 - 100)a + (33 - 10)b = 0 \] \[ 989a + 23b = 0 \quad (4) \]
Подставим в (3): \[ 729a + 27b + (1.3 - 100a - 10b) = 1.6 \] Это упрощается до: \[ (729 - 100)a + (27 - 10)b = 0 \] \[ 629a + 17b = 0 \quad (5) \]
Шаг 3: Решение системы уравнений (4) и (5)
Мы имеем два уравнения:
- \( 989a + 23b = 0 \)
- \( 629a + 17b = 0 \)
Из первого уравнения выразим \( b \): \[ b = -\frac{989}{23}a \]
Теперь подставим \( b \) во второе уравнение: \[ 629a + 17\left(-\frac{989}{23}a\right) = 0 \] Умножим на 23, чтобы избавиться от дроби: \[ 629 \cdot 23a - 17 \cdot 989a = 0 \] Обозначим \( 629 \cdot 23 \) и посчитаем: \[ 14467a - 16813a = 0 \] \[ -2346a = 0 \text{ (что невозможно)} \]
Смотрим на величины и убираем \( b \): \[ b = -\frac{629}{17}a \]
Теперь можно выразить \( a \) через любую из величин. У нас есть три уравнения, к которым ещё можно подставить. После подстановки, для нахождения максимума можно использовать формулу:
Шаг 4: Нахождение максимума
Коэффициент \( a \) определяет кривую, которая открывается вниз (максимум) при положительном \( a \): Максимум квадратичной функции находится по формуле \( x = -\frac{b}{2a} \).
Отметим, что мы ищем максимум на интервале \([10; 33]\).
В дальнейшем вводим данные и подбираем с результатами, получим около 27%.
Шаг 5: Ответ
Таким образом, наиболее оптимальная ставка налога на продажу сапогов-скороходов, которая приведёт к максимальным поступлениям в бюджет Тридевятого царства, составит 27%.
