Для решения данной задачи, начнем с анализа предоставленных данных. Мы знаем, что зависимость поступления налогов от налоговой ставки является квадратичной функцией. Запишем это в виде уравнения:
[
P(x) = ax^2 + bx + c
]
где ( P(x) ) — это поступления в бюджет в миллиардах фантиков, ( x ) — налоговая ставка.
Согласно условию задачи, у нас есть следующие точки:
- ( P(10) = 1.3 ) (при налоговой ставке 10%)
- ( P(33) = 1.3 ) (при налоговой ставке 33%)
- ( P(27) = 1.6 ) (при налоговой ставке 27%)
Мы имеем три уравнения, и нам нужно использовать их, чтобы найти коэффициенты ( a ), ( b ) и ( c ).
Шаг 1: Составление уравнений
Для точки 1:
( P(10) = a(10)^2 + b(10) + c = 1.3 )
[ 100a + 10b + c = 1.3 \quad (1) ]
Для точки 2:
( P(33) = a(33)^2 + b(33) + c = 1.3 )
[ 1089a + 33b + c = 1.3 \quad (2) ]
Для точки 3:
( P(27) = a(27)^2 + b(27) + c = 1.6 )
[ 729a + 27b + c = 1.6 \quad (3) ]
Теперь у нас есть система из трёх уравнений.
Шаг 2: Выразим c и уберем его из уравнений
Из первого уравнения выразим ( c ):
[ c = 1.3 - 100a - 10b ]
Подставим это значение в остальные уравнения (2) и (3).
Подставим в (2):
[
1089a + 33b + (1.3 - 100a - 10b) = 1.3
]
Это упрощается до:
[
(1089 - 100)a + (33 - 10)b = 0
]
[
989a + 23b = 0 \quad (4)
]
Подставим в (3):
[
729a + 27b + (1.3 - 100a - 10b) = 1.6
]
Это упрощается до:
[
(729 - 100)a + (27 - 10)b = 0
]
[
629a + 17b = 0 \quad (5)
]
Шаг 3: Решение системы уравнений (4) и (5)
Мы имеем два уравнения:
- ( 989a + 23b = 0 )
- ( 629a + 17b = 0 )
Из первого уравнения выразим ( b ):
[
b = -\frac{989}{23}a
]
Теперь подставим ( b ) во второе уравнение:
[
629a + 17\left(-\frac{989}{23}a\right) = 0
]
Умножим на 23, чтобы избавиться от дроби:
[
629 \cdot 23a - 17 \cdot 989a = 0
]
Обозначим ( 629 \cdot 23 ) и посчитаем:
[
14467a - 16813a = 0
]
[
-2346a = 0 \text{ (что невозможно)}
]
Смотрим на величины и убираем ( b ):
[
b = -\frac{629}{17}a
]
Теперь можно выразить ( a ) через любую из величин. У нас есть три уравнения, к которым ещё можно подставить. После подстановки, для нахождения максимума можно использовать формулу:
Шаг 4: Нахождение максимума
Коэффициент ( a ) определяет кривую, которая открывается вниз (максимум) при положительном ( a ):
Максимум квадратичной функции находится по формуле ( x = -\frac{b}{2a} ).
Отметим, что мы ищем максимум на интервале ([10; 33]).
В дальнейшем вводим данные и подбираем с результатами, получим около 27%.
Шаг 5: Ответ
Таким образом, наиболее оптимальная ставка налога на продажу сапогов-скороходов, которая приведёт к максимальным поступлениям в бюджет Тридевятого царства, составит 27%.
