Задумали трёхзначное число, последняя цифра которого не равна нулю. Из него вычли трёхзначное число, записанное теми же цифрами в обратном порядке. Получили число 693 693 . Найди…
Задумали трёхзначное число, последняя цифра которого не равна нулю. Из него вычли трёхзначное число, записанное теми же цифрами в обратном порядке. Получили число 693 693. Найди все числа, большие 900 900 и обладающие таким свойством. В ответ запиши числа в порядке возрастания, используя символ «;», без пробелов. Пример: 953;958;978
Давайте разберёмся с задачей по шагам.
Имеем трёхзначное число \(abc\), где \(a\), \(b\) и \(c\) — цифры числа. \(a\) — первая цифра, \(b\) — вторая, \(c\) — последняя цифра. Условия задачи: последняя цифра не равна нулю, и \(a\) не может быть равна нулю, так как это трёхзначное число.
Записываем число в десятичной системе:
- Трёхзначное число: \(100a + 10b + c\)
- Обратное число: \(100c + 10b + a\)
Вычитаем обратное число из нашего числа: \[ (100a + 10b + c) - (100c + 10b + a) = 100a + 10b + c - 100c - 10b - a \] Упрощаем это выражение: \[ = 100a - a + c - 100c \] \[ = 99a - 99c = 99(a - c) \]
По условию задачи, результат равен 693: \[ 99(a - c) = 693 \] Делим обе стороны на 99: \[ a - c = \frac{693}{99} = 7 \] Следовательно, \(a - c = 7\).
Теперь найдем возможные значения для \(a\) и \(c\):
- \(a\) может принимать значения от 1 до 9 (поскольку это первая цифра трёхзначного числа).
- \(c\) может принимать значения от 1 до 9 (но не 0, т.к. последняя цифра не равна нулю).
Уравнение \(a - c = 7\):
- Если \(c = 1\), то \(a = 8\).
- Если \(c = 2\), то \(a = 9\).
- Если \(c = 3\) или больше, то \(a\) будет больше 9, что невозможно.
Теперь мы имеем два возможных сочетания (a, c):
- \( (8, 1) \), то есть комбинация \(8b1\) где \(b\) — любая цифра от 0 до 9.
- \( (9, 2) \), то есть комбинация \(9b2\) где \(b\) — любая цифра от 0 до 9.
Находим трёхзначные числа:
- Для \(a = 8, c = 1\): \(801, 811, 821, 831, 841, 851, 861, 871, 881, 891\).
- Для \(a = 9, c = 2\): \(902, 912, 922, 932, 942, 952, 962, 972, 982, 992\).
Выбираем числа больше 900:
- Из первого блока (т.е. \(abc\), где \(a = 8\)) подходим только \(891\), так как все остальные меньше 900.
- Из второго блока (т.е. \(a = 9\)): \(902, 912, 922, 932, 942, 952, 962, 972, 982, 992\).
Соберем все подходящие трёхзначные числа в требуемом формате: \[ 902;912;922;932;942;952;962;972;982;992 \]
Таким образом, ответ на задачу и числа, которые соответствуют условиям, будут записаны так: 902;912;922;932;942;952;962;972;982;992
