Для решения задачи найдем вероятность того, что случайно выбранная точка из квадрата со стороной 5 попадает в правильный треугольник со стороной (2\sqrt{3}).
Шаг 1: Находим площадь квадрата
Площадь квадрата со стороной (a = 5) рассчитывается по формуле:
[
S_{\text{квадрат}} = a^2 = 5^2 = 25
]
Шаг 2: Находим площадь правильного треугольника
Площадь правильного треугольника со стороной (a = 2\sqrt{3}) рассчитывается по формуле:
[
S_{\text{треугольник}} = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2
]
Подставим значение стороны:
[
S_{\text{треугольник}} = \frac{\sqrt{3}}{4} (2\sqrt{3})^2
]
[
= \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 4 \cdot 3 = \frac{\sqrt{3} \cdot 12}{4} = 3\sqrt{3}
]
Шаг 3: Находим вероятность
Вероятность того, что случайно выбранная точка из квадрата попадет в треугольник, рассчитывается по формуле:
[
P = \frac{S_{\text{треугольник}}}{S_{\text{квадрат}}}
]
Подставляем площади:
[
P = \frac{3\sqrt{3}}{25}
]
Шаг 4: Окончательный ответ
Таким образом, наша вероятность того, что случайно выбранная точка из квадрата со стороной 5 попадет в правильный треугольник со стороной (2\sqrt{3}), равна:
[
P = \frac{3\sqrt{3}}{25}
]
Эта вероятность численно приблизительно равна (0.196) или (19.6%), что демонстрирует, что точка имеет около 19.6% шанс попасть в треугольник, когда выбрана случайно из заданного квадрата.
