№ 5. Периметр прямоугольника равен 32 см, а его площадь равна 60 см². Найдите длину меньшей стороны прямоугольника.
Решим задачу о прямоугольнике поэтапно. У нас есть две важные информации: периметр (P) и площадь (S) прямоугольника.
Дано:
- Периметр прямоугольника \( P = 32 \) см.
- Площадь прямоугольника \( S = 60 \) см².
Формулы:
Формула периметра прямоугольника: \[ P = 2(a + b) \] где \( a \) и \( b \) — длины сторон прямоугольника.
Формула площади прямоугольника: \[ S = a \times b \]
Известные размеры: Исходя из формулы периметра, можем выразить \( a + b \): \[ a + b = \frac{P}{2} = \frac{32}{2} = 16 \quad \text{(1)} \]
Площадь: Площадь можно оставить как есть: \[ a \times b = 60 \quad \text{(2)} \]
Система уравнений: Теперь у нас есть система уравнений (1) и (2):
- \( a + b = 16 \)
- \( ab = 60 \)
Выразим одну переменную через другую: Из уравнения (1) можем выразить \( b \): \[ b = 16 - a \quad \text{(3)} \]
Подставим (3) в (2): Подставим \( b \) из (3) во (2): \[ a(16 - a) = 60 \] Раскроем скобки: \[ 16a - a^2 = 60 \] Переносим все в одну сторону: \[ a^2 - 16a + 60 = 0 \]
Решение квадратного уравнения: Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac = (-16)^2 - 4 \times 1 \times 60 = 256 - 240 = 16 \]
Находим корни уравнения по формуле: \[ a = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{16 \pm \sqrt{16}}{2 \times 1} = \frac{16 \pm 4}{2} \] Таким образом, получаем два значения: \[ a_1 = \frac{20}{2} = 10 \quad \text{и} \quad a_2 = \frac{12}{2} = 6 \]
Находим стороны: У нас есть два полученных значения: \( a = 10 \) и \( b = 6 \). Поскольку нужно найти длину меньшей стороны, это будет \( 6 \) см.
Ответ: Меньшая сторона прямоугольника равна \( 6 \) см.
Теперь все шаги ясны, и вы можете увидеть, как было получено решение задачи. Если есть дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать!
