Основанием прямой четырёхугольной призмы A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 является параллелограмм со сторонами 7 7 и 6 6 и острым углом 3 0 ∘ 30 ∘ . Боковое…
Основанием прямой четырёхугольной призмы A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 является параллелограмм со сторонами 7 7 и 6 6 и острым углом 3 0 ∘ 30 ∘ . Боковое ребро призмы равно 5 5. Найди сумму площадей всех граней призмы.
Для решения задачи найдем сумму площадей всех граней прямой четырехугольной призмы. Призму можно представить следующим образом:
- Основание призмы — это параллелограмм \(ABCD\).
- Верхнее основание — это параллелограмм \(A_1B_1C_1D_1\), которое будет аналогично основанию.
Шаг 1: Найдем площадь основания
Параллелограмм имеет площадь, которую можно вычислить по формуле: \[ S = a \cdot b \cdot \sin(\alpha), \] где:
- \(a\) и \(b\) — длины сторон параллелограмма,
- \(\alpha\) — угол между сторонами \(a\) и \(b\).
В нашем случае:
- \(a = 7\),
- \(b = 6\),
- \(\alpha = 30^\circ\).
Сначала вычислим \(\sin(30^\circ)\): \[ \sin(30^\circ) = \frac{1}{2}. \]
Теперь подставим значения в формулу: \[ S = 7 \cdot 6 \cdot \frac{1}{2} = 21. \]
Таким образом, площадь основания параллелограмма \(ABCD\) равна 21.
Шаг 2: Найдем площадь верхнего основания
Площадь верхнего основания \(A_1B_1C_1D_1\) будет такой же, как и у нижнего: \[ S_{верх} = S_{низ} = 21. \]
Шаг 3: Найдем площадь боковых граней
Боковые грани призмы представляют собой прямоугольники. У нас есть 4 боковые грани между параллелограммами:
- Грань \(AB \, A_1B_1\) с размерами \(AB = 7\) и высота (длина бокового ребра) \(h = 5\).
- Грань \(BC \, B_1C_1\) с размерами \(BC = 6\) и высота \(h = 5\).
- Грань \(CD \, C_1D_1\) с размерами \(CD = 7\) и высота \(h = 5\).
- Грань \(DA \, D_1A_1\) с размерами \(DA = 6\) и высота \(h = 5\).
Теперь найдем площади каждой боковой грани:
- Площадь грани \(AB \, A_1B_1\): \[ S_{AB} = 7 \cdot 5 = 35. \]
- Площадь грани \(BC \, B_1C_1\): \[ S_{BC} = 6 \cdot 5 = 30. \]
- Площадь грани \(CD \, C_1D_1\): \[ S_{CD} = 7 \cdot 5 = 35. \]
- Площадь грани \(DA \, D_1A_1\): \[ S_{DA} = 6 \cdot 5 = 30. \]
Шаг 4: Найдем общую площадь боковых граней
Теперь суммируем площади всех боковых упомянутых граней: \[ S_{боковые} = S_{AB} + S_{BC} + S_{CD} + S_{DA} = 35 + 30 + 35 + 30 = 130. \]
Шаг 5: Найдем общую сумму площадей всех граней призмы
Теперь, когда мы знаем площади основания, верхнего основания и боковых граней, можем найти общую площадь всех граней призмы: \[ S_{всего} = S_{ниж} + S_{верх} + S_{боковые} = 21 + 21 + 130 = 172. \]
Ответ
Сумма площадей всех граней прямой четырехугольной призмы равна 172.
