Основанием прямой четырёхугольной призмы  A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 ABCDA 1 ​ B 1 ​ C 1 ​ D 1 ​  является параллелограмм со сторонами  7 7 и  6 6 и острым углом  3 0 ∘ 30 ∘ . Боковое ребро призмы равно  5 5. Найди сумму площадей всех граней призмы.

Для решения задачи найдем сумму площадей всех граней прямой четырехугольной призмы. Призму можно представить следующим образом: - Основание призмы — это параллелограмм \(ABCD\). - Верхнее основание — это параллелограмм \(A_1B_1C_1D_1\), которое будет аналогично основанию. ### Шаг 1: Найдем площадь основания Параллелограмм имеет площадь, которую можно вычислить по формуле: \[ S = a \cdot b \cdot \sin(\alpha), \] где: - \(a\) и \(b\) — длины сторон параллелограмма, - \(\alpha\) — угол между сторонами \(a\) и \(b\). В нашем случае: - \(a = 7\), - \(b = 6\), - \(\alpha = 30^\circ\). Сначала вычислим \(\sin(30^\circ)\): \[ \sin(30^\circ) = \frac{1}{2}. \] Теперь подставим значения в формулу: \[ S = 7 \cdot 6 \cdot \frac{1}{2} = 21. \] Таким образом, площадь основания параллелограмма \(ABCD\) равна 21. ### Шаг 2: Найдем площадь верхнего основания Площадь верхнего основания \(A_1B_1C_1D_1\) будет такой же, как и у нижнего: \[ S_{верх} = S_{низ} = 21. \] ### Шаг 3: Найдем площадь боковых граней Боковые грани призмы представляют собой прямоугольники. У нас есть 4 боковые грани между параллелограммами: 1. Грань \(AB \, A_1B_1\) с размерами \(AB = 7\) и высота (длина бокового ребра) \(h = 5\). 2. Грань \(BC \, B_1C_1\) с размерами \(BC = 6\) и высота \(h = 5\). 3. Грань \(CD \, C_1D_1\) с размерами \(CD = 7\) и высота \(h = 5\). 4. Грань \(DA \, D_1A_1\) с размерами \(DA = 6\) и высота \(h = 5\). Теперь найдем площади каждой боковой грани: 1. Площадь грани \(AB \, A_1B_1\): \[ S_{AB} = 7 \cdot 5 = 35. \] 2. Площадь грани \(BC \, B_1C_1\): \[ S_{BC} = 6 \cdot 5 = 30. \] 3. Площадь грани \(CD \, C_1D_1\): \[ S_{CD} = 7 \cdot 5 = 35. \] 4. Площадь грани \(DA \, D_1A_1\): \[ S_{DA} = 6 \cdot 5 = 30. \] ### Шаг 4: Найдем общую площадь боковых граней Теперь суммируем площади всех боковых упомянутых граней: \[ S_{боковые} = S_{AB} + S_{BC} + S_{CD} + S_{DA} = 35 + 30 + 35 + 30 = 130. \] ### Шаг 5: Найдем общую сумму площадей всех граней призмы Теперь, когда мы знаем площади основания, верхнего основания и боковых граней, можем найти общую площадь всех граней призмы: \[ S_{всего} = S_{ниж} + S_{верх} + S_{боковые} = 21 + 21 + 130 = 172. \] ### Ответ Сумма площадей всех граней прямой четырехугольной призмы равна **172**.