точка M-середина стороны AB квадрата ABCD. точка N делит AD в отношении 1:3,считая от точки A. найти площадь ABCD ,если площадь треугольника AMN равна 1см²

Решим задачу пошагово.

1. Обозначим стороны квадрата: Пусть длина стороны квадрата \( ABCD \) равна \( a \). Площадь квадрата тогда будет равна \( S = a^2 \).

2. Найдем координаты точек:

   • Обозначим координаты:
     • \( A(0, 0) \)
     • \( B(a, 0) \)
     • \( C(a, a) \)
     • \( D(0, a) \)

3. Найдём координаты точек M и N:

   • Поскольку \( M \) - середина стороны \( AB \), то: \[ M\left(\frac{0 + a}{2}, 0\right) = M\left(\frac{a}{2}, 0\right) \]

   • \( N \) делит \( AD \) в отношении \( 1:3 \):

     • Полная длина от \( A \) до \( D \) равна \( a \).
     • Отрезок \( AN \) равен \( \frac{1}{4}a \), а отрезок \( ND \) равен \( \frac{3}{4}a \).
     • Таким образом, координаты точки \( N \): \[ N\left(0, \frac{1}{4}a\right) \]

4. Выразим площадь треугольника AMN:

   • Площадь треугольника, заданного тремя точками \( A(x_1, y_1) \), \( M(x_2, y_2) \), \( N(x_3, y_3) \) можно найти по формуле: \[ S = \frac{1}{2} \left| x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2) \right| \]
   • Подставим координаты \( A(0, 0) \), \( M\left(\frac{a}{2}, 0\right) \), \( N\left(0, \frac{1}{4}a\right) \): \[ S = \frac{1}{2} \left| 0\left(0 - \frac{1}{4}a\right) + \frac{a}{2}\left(\frac{1}{4}a - 0\right) + 0\left(0 - 0\right) \right| \]
   • Упрощаем это выражение: \[ S = \frac{1}{2} \left| \frac{a}{2} \cdot \frac{1}{4}a \right| = \frac{1}{2} \cdot \frac{a^2}{8} = \frac{a^2}{16} \]

5. Условие задачи:

   • Дано, что площадь треугольника \( AMN = 1 \, \text{см}^2 \).
   • Поэтому у нас есть уравнение: \[ \frac{a^2}{16} = 1 \]

6. Решаем уравнение:

   • Умножим обе стороны на 16: \[ a^2 = 16 \]
   • Найдем \( a \): \[ a = 4 \, \text{см} \quad (\text{так как длина стороны не может быть отрицательной}) \]

7. Наконец, найдем площадь квадрата ABCD: \[ S_{ABCD} = a^2 = 4^2 = 16 \, \text{см}^2 \]

Таким образом, площадь квадрата \( ABCD \) равна 16 см².