В прямоугольном треугольнике ABC угол C =90° ,AB=4√2 см ,угол B=45° . Найдите катеты этого треугольника.

Для решения задачи, нам необходимо найти катеты прямоугольного треугольника ABC, в котором угол C равен 90°, AB (гипотенуза) равен 4√2 см, а угол B равен 45°.

Шаг 1: Определим угол A

В прямоугольном треугольнике сумма углов равна 180°. У нас уже есть один угол (угол C = 90°) и другой угол (угол B = 45°). Найдем угол A:

\[ A = 180° - B - C = 180° - 45° - 90° = 45° \]

Таким образом, угол A тоже равен 45°. Это означает, что треугольник ABC является равнобедренным, так как два угла равны.

Шаг 2: Используем свойства равнобедренного треугольника

В равнобедренном прямоугольном треугольнике катеты равны. Обозначим длину катетов (AC и BC) как \( x \).

Шаг 3: Применяем теорему Пифагора

Согласно теореме Пифагора, сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы:

\[ AC^2 + BC^2 = AB^2 \]

Подставляем наши обозначения и известные значения:

\[ x^2 + x^2 = (4\sqrt{2})^2 \]

Это можно упростить:

\[ 2x^2 = (4\sqrt{2})^2 \] \[ 2x^2 = 16 \cdot 2 \] \[ 2x^2 = 32 \]

Шаг 4: Находим значение x

Теперь делим обе стороны уравнения на 2:

\[ x^2 = 16 \]

Теперь извлекаем корень:

\[ x = \sqrt{16} = 4 \]

Шаг 5: Ответ

Таким образом, длины катетов AC и BC равны:

\[ AC = 4 \, \text{см}, \quad BC = 4 \, \text{см} \]

Итог: В прямоугольном треугольнике ABC катеты AC и BC равны 4 см.