Для решения задачи, нам необходимо найти катеты прямоугольного треугольника ABC, в котором угол C равен 90°, AB (гипотенуза) равен 4√2 см, а угол B равен 45°.
Шаг 1: Определим угол A
В прямоугольном треугольнике сумма углов равна 180°. У нас уже есть один угол (угол C = 90°) и другой угол (угол B = 45°). Найдем угол A:
[
A = 180° - B - C = 180° - 45° - 90° = 45°
]
Таким образом, угол A тоже равен 45°. Это означает, что треугольник ABC является равнобедренным, так как два угла равны.
Шаг 2: Используем свойства равнобедренного треугольника
В равнобедренном прямоугольном треугольнике катеты равны. Обозначим длину катетов (AC и BC) как ( x ).
Шаг 3: Применяем теорему Пифагора
Согласно теореме Пифагора, сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы:
[
AC^2 + BC^2 = AB^2
]
Подставляем наши обозначения и известные значения:
[
x^2 + x^2 = (4\sqrt{2})^2
]
Это можно упростить:
[
2x^2 = (4\sqrt{2})^2
]
[
2x^2 = 16 \cdot 2
]
[
2x^2 = 32
]
Шаг 4: Находим значение x
Теперь делим обе стороны уравнения на 2:
[
x^2 = 16
]
Теперь извлекаем корень:
[
x = \sqrt{16} = 4
]
Шаг 5: Ответ
Таким образом, длины катетов AC и BC равны:
[
AC = 4 , \text{см}, \quad BC = 4 , \text{см}
]
Итог: В прямоугольном треугольнике ABC катеты AC и BC равны 4 см.
