найти площадь криволинейной трапеции:a=1;b=3;f(x)=x^2-4x+5

Для нахождения площади криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции и осью абсцисс, мы будем использовать интегральное исчисление. В данном случае, у нас есть функция \( f(x) = x^2 - 4x + 5 \) и промежуток от \( a = 1 \) до \( b = 3 \).

Шаг 1: Определение площади

Площадь криволинейной трапеции между графиком функции и осью x на интервале \([a, b]\) можно найти с помощью определённого интеграла:

\[ S = \int_{a}^{b} f(x) \, dx \]

Шаг 2: Найдём интеграл функции

Сначала найдем неопределённый интеграл функции \( f(x) \):

\[ \int f(x) \, dx = \int (x^2 - 4x + 5) \, dx \]

Теперь вычислим интеграл по частям:

• Интеграл от \( x^2 \) равен \( \frac{x^3}{3} \)
• Интеграл от \( -4x \) равен \( -2x^2 \)
• Интеграл от \( 5 \) равен \( 5x \)

Сложим все это вместе:

\[ \int (x^2 - 4x + 5) \, dx = \frac{x^3}{3} - 2x^2 + 5x + C \]

Шаг 3: Подставим пределы интегрирования

Теперь нам нужно вычислить определённый интеграл от 1 до 3:

\[ S = \left[ \frac{x^3}{3} - 2x^2 + 5x \right]_{1}^{3} \]

Сначала подставим верхний предел \( x = 3 \):

\[ S(3) = \frac{3^3}{3} - 2 \cdot 3^2 + 5 \cdot 3 = \frac{27}{3} - 18 + 15 = 9 - 18 + 15 = 6 \]

Теперь подставим нижний предел \( x = 1 \):

\[ S(1) = \frac{1^3}{3} - 2 \cdot 1^2 + 5 \cdot 1 = \frac{1}{3} - 2 + 5 = \frac{1}{3} + 3 = \frac{10}{3} \]

Шаг 4: Найдём площадь

Теперь найдем, вычитая нижний предел из верхнего:

\[ S = S(3) - S(1) = 6 - \frac{10}{3} \]

Приведем 6 к общему знаменателю (3):

\[ S = \frac{18}{3} - \frac{10}{3} = \frac{8}{3} \]

Ответ

Итак, площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции \( f(x) = x^2 - 4x + 5 \), осью x и вертикальными линиями \( x = 1 \) и \( x = 3 \), равна:

\[ S = \frac{8}{3} \]