Найди площадь фигуры, ограниченной прямыми x = 0 x=0 , x = 2 x=2 , y = 3 y=3 и графиком функции f ( x ) = 3 x 2 − 5 x + 7 f(x)=3x 2 −5x+7 .

Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной заданными прямыми и графиком функции, следуем следующим шагам:

Шаг 1: Определение границ интегрирования

У нас есть параллельные прямые:

• \( x = 0 \) (вертикальная прямая, проходящая через 0)
• \( x = 2 \) (вертикальная прямая, проходящая через 2)

И горизонтальная прямая:

• \( y = 3 \)

Мы также имеем график функции:

• \( f(x) = 3x^2 - 5x + 7 \)

Площадь будет находиться между графиком функции и прямой \( y = 3 \) от \( x = 0 \) до \( x = 2 \).

Шаг 2: Найдите точки пересечения графика функции и линии \( y = 3 \)

Для этого приравняем функцию к 3:

\[ 3x^2 - 5x + 7 = 3 \]

Упрощаем:

\[ 3x^2 - 5x + 4 = 0 \]

Теперь можем использовать дискриминант для нахождения корней:

\[ D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 4 = 25 - 48 = -23 \]

Так как дискриминант отрицательный, у уравнения нет действительных корней. Это значит, что график функции \( f(x) \) не пересекается с линией \( y = 3 \) на интервале от 0 до 2.

Шаг 3: Нахождение площади

Поскольку график функции выше прямой \( y = 3 \) на всём рассматриваемом интервале, площадь области может быть найдена как разность между графиком функции и линией \( y = 3 \):

\[ \text{Площадь} = \int_{0}^{2} (f(x) - 3) \, dx \]

Шаг 4: Интегрирование функции

Подставим \( f(x) = 3x^2 - 5x + 7 \):

\[ \text{Площадь} = \int_{0}^{2} (3x^2 - 5x + 7 - 3) \, dx = \int_{0}^{2} (3x^2 - 5x + 4) \, dx \]

Теперь посчитаем интеграл:

\[ \int (3x^2 - 5x + 4) \, dx = x^3 - \frac{5}{2}x^2 + 4x + C \]

Теперь подставим пределы от 0 до 2:

\[ \left[ x^3 - \frac{5}{2}x^2 + 4x \right]_{0}^{2} = \left[ 2^3 - \frac{5}{2} \cdot 2^2 + 4 \cdot 2 \right] - \left[ 0 \right] \]

Вычислим:

\[ = \left[ 8 - \frac{5}{2} \cdot 4 + 8 \right] \] \[ = 8 - 10 + 8 \] \[ = 6 \]

Ответ

Площадь фигуры, ограниченной прямыми \( x = 0 \), \( x = 2 \), \( y = 3 \) и графиком функции \( f(x) = 3x^2 - 5x + 7 \), равна \( 6 \).