Найди площадь фигуры, ограниченной прямыми  x = 0 x=0,  x = 2 x=2,  y = 3 y=3 и графиком функции  f ( x ) = 3 x 2 − 5 x + 7 f(x)=3x 2 −5x+7.

Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной заданными прямыми и графиком функции, следуем следующим шагам: ### Шаг 1: Определение границ интегрирования У нас есть параллельные прямые: - \( x = 0 \) (вертикальная прямая, проходящая через 0) - \( x = 2 \) (вертикальная прямая, проходящая через 2) И горизонтальная прямая: - \( y = 3 \) Мы также имеем график функции: - \( f(x) = 3x^2 - 5x + 7 \) Площадь будет находиться между графиком функции и прямой \( y = 3 \) от \( x = 0 \) до \( x = 2 \). ### Шаг 2: Найдите точки пересечения графика функции и линии \( y = 3 \) Для этого приравняем функцию к 3: \[ 3x^2 - 5x + 7 = 3 \] Упрощаем: \[ 3x^2 - 5x + 4 = 0 \] Теперь можем использовать дискриминант для нахождения корней: \[ D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 4 = 25 - 48 = -23 \] Так как дискриминант отрицательный, у уравнения нет действительных корней. Это значит, что график функции \( f(x) \) не пересекается с линией \( y = 3 \) на интервале от 0 до 2. ### Шаг 3: Нахождение площади Поскольку график функции выше прямой \( y = 3 \) на всём рассматриваемом интервале, площадь области может быть найдена как разность между графиком функции и линией \( y = 3 \): \[ \text{Площадь} = \int_{0}^{2} (f(x) - 3) \, dx \] ### Шаг 4: Интегрирование функции Подставим \( f(x) = 3x^2 - 5x + 7 \): \[ \text{Площадь} = \int_{0}^{2} (3x^2 - 5x + 7 - 3) \, dx = \int_{0}^{2} (3x^2 - 5x + 4) \, dx \] Теперь посчитаем интеграл: \[ \int (3x^2 - 5x + 4) \, dx = x^3 - \frac{5}{2}x^2 + 4x + C \] Теперь подставим пределы от 0 до 2: \[ \left[ x^3 - \frac{5}{2}x^2 + 4x \right]_{0}^{2} = \left[ 2^3 - \frac{5}{2} \cdot 2^2 + 4 \cdot 2 \right] - \left[ 0 \right] \] Вычислим: \[ = \left[ 8 - \frac{5}{2} \cdot 4 + 8 \right] \] \[ = 8 - 10 + 8 \] \[ = 6 \] ### Ответ Площадь фигуры, ограниченной прямыми \( x = 0 \), \( x = 2 \), \( y = 3 \) и графиком функции \( f(x) = 3x^2 - 5x + 7 \), равна \( 6 \).