Чтобы найти количество вещества одноатомного идеального газа, который совершает работу 17 кДж за цикл, воспользуемся формулами термодинамики для идеального газа и работы, совершаемой в цикле.
Этап 1: Данные задачи
У нас есть:
- Работа ( W = 17 , \text{кДж} = 17000 , \text{Дж} )
- Отношение давлений ( \frac{p_2}{p_1} = 4 )
- Температура ( T_1 = 292 , \text{К} )
- Температура ( T_4 = 386 , \text{К} )
Этап 2: Формулировка задачи
Для одноатомного идеального газа работа, совершаемая в цикле, может быть связана с изменением внутренней энергии и количествами вещества через уравнение состояния идеального газа.
Работа, совершаемая газом за один цикл, для одноатомного идеального газа, можно выразить следующим образом с помощью температуры и количества вещества:
[
W = n \cdot C_v \cdot (T_4 - T_1)
]
где:
- ( n ) — количество вещества,
- ( C_v = \frac{3}{2} R ) — теплоемкость при постоянном объеме для одноатомного газа,
- ( R ) — универсальная газовая постоянная (около 8.31 Дж/(моль·К)).
Этап 3: Подстановка входящих данных
Теперь подставим данный ( C_v ) в наше уравнение работы:
[
W = n \cdot \frac{3}{2} R \cdot (T_4 - T_1)
]
Подставляем значения:
[
17000 = n \cdot \frac{3}{2} \cdot 8.31 \cdot (386 - 292)
]
Этап 4: Вычисления
Сначала найдем разность температур:
[
T_4 - T_1 = 386 - 292 = 94 , \text{К}
]
Теперь подставим это значение в уравнение:
[
17000 = n \cdot \frac{3}{2} \cdot 8.31 \cdot 94
]
Вычислим произведение:
[
\frac{3}{2} \cdot 8.31 \cdot 94 \approx 3.5 \cdot 8.31 = 24.99
]
[
24.99 \cdot 94 \approx 2349.06
]
Теперь подставим это значение:
[
17000 = n \cdot 2349.06
]
Решим относительно ( n ):
[
n = \frac{17000}{2349.06} \approx 7.24 , \text{моль}
]
Этап 5: Заключение
Округляем ( n ) до целых:
[
n \approx 7 , \text{моль}
]
Таким образом, количество вещества одноатомного идеального газа, которое совершает работу 17 кДж в цикле, составляет 7 моль.
