При некотором значении p квадратные уравнения x²+(p-1)x-(p+2)=0 и x²+(p+2)x+2p-1=0 имеют общий корень. Тогда 6×p равно

Чтобы решить задачу, нам нужно выяснить, при каком значении \( p \) квадратные уравнения \( x^2 + (p-1)x - (p+2) = 0 \) и \( x^2 + (p+2)x + 2p - 1 = 0 \) имеют общий корень.

Обозначим общий корень как \( r \). Тогда он должен удовлетворять обоим уравнениям. Запишем это:

1. \( r^2 + (p-1)r - (p+2) = 0 \)
2. \( r^2 + (p+2)r + 2p - 1 = 0 \)

Теперь вычтем из первого уравнения второе. Для этого перепишем уравнения с равенством:

\[ r^2 + (p-1)r - (p+2) = 0 \tag{1} \]

\[ r^2 + (p+2)r + (2p - 1) = 0 \tag{2} \]

Теперь вычтем (2) из (1):

\[ [(p-1)-(p+2)] r + [-(p+2) - (2p - 1)] = 0 \]

Упрощаем:

\[ (-3)r - (p + 2 - 2p + 1) = 0 \]

Это дает нам:

\[ -3r - (3 - p) = 0 \]

Решая для \( r \):

\[ 3r = -(3 - p) \implies r = \frac{p - 3}{3} \]

Теперь подставим \( r = \frac{p - 3}{3} \) обратно в одно из уравнений, чтобы найти значение \( p \). Подставим в первое уравнение:

\[ \left(\frac{p - 3}{3}\right)^2 + (p-1)\left(\frac{p - 3}{3}\right) - (p + 2) = 0 \]

Умножим все уравнение на 9 (для избавления от знаменателей):

\[ (p - 3)^2 + 3(p-1)(p-3) - 9(p + 2) = 0 \]

Раскроем скобки:

\[ (p^2 - 6p + 9) + 3(p^2 - 4p + 3) - 9p - 18 = 0 \]

Упрощаем:

\[ p^2 - 6p + 9 + 3p^2 - 12p + 9 - 9p - 18 = 0 \]

Соберем подобные:

\[ 4p^2 - 27p + 0 = 0 \]

Решим это уравнение через формулу:

\[ p(4p - 27) = 0 \]

Получаем два значения:

\[ p = 0 \quad \text{или} \quad 4p - 27 = 0 \implies p = \frac{27}{4} \]

Теперь нам нужно найти значение \( 6 \times p \):

1. Если \( p = 0 \), то \( 6 \times 0 = 0 \).
2. Если \( p = \frac{27}{4} \), тогда \( 6 \times \frac{27}{4} = \frac{162}{4} = 40.5 \).

Таким образом, \( 6 \times p \) равно 0 или 40.5.

Ответ в общем виде: \( 6 \times p = 0 \quad \text{или} \quad 40.5 \).