Чтобы решить задачу, нам нужно выяснить, при каком значении ( p ) квадратные уравнения ( x^2 + (p-1)x - (p+2) = 0 ) и ( x^2 + (p+2)x + 2p - 1 = 0 ) имеют общий корень.
Обозначим общий корень как ( r ). Тогда он должен удовлетворять обоим уравнениям. Запишем это:
- ( r^2 + (p-1)r - (p+2) = 0 )
- ( r^2 + (p+2)r + 2p - 1 = 0 )
Теперь вычтем из первого уравнения второе. Для этого перепишем уравнения с равенством:
[
r^2 + (p-1)r - (p+2) = 0 \tag{1}
]
[
r^2 + (p+2)r + (2p - 1) = 0 \tag{2}
]
Теперь вычтем (2) из (1):
[
[(p-1)-(p+2)] r + [-(p+2) - (2p - 1)] = 0
]
Упрощаем:
[
(-3)r - (p + 2 - 2p + 1) = 0
]
Это дает нам:
[
-3r - (3 - p) = 0
]
Решая для ( r ):
[
3r = -(3 - p) \implies r = \frac{p - 3}{3}
]
Теперь подставим ( r = \frac{p - 3}{3} ) обратно в одно из уравнений, чтобы найти значение ( p ). Подставим в первое уравнение:
[
\left(\frac{p - 3}{3}\right)^2 + (p-1)\left(\frac{p - 3}{3}\right) - (p + 2) = 0
]
Умножим все уравнение на 9 (для избавления от знаменателей):
[
(p - 3)^2 + 3(p-1)(p-3) - 9(p + 2) = 0
]
Раскроем скобки:
[
(p^2 - 6p + 9) + 3(p^2 - 4p + 3) - 9p - 18 = 0
]
Упрощаем:
[
p^2 - 6p + 9 + 3p^2 - 12p + 9 - 9p - 18 = 0
]
Соберем подобные:
[
4p^2 - 27p + 0 = 0
]
Решим это уравнение через формулу:
[
p(4p - 27) = 0
]
Получаем два значения:
[
p = 0 \quad \text{или} \quad 4p - 27 = 0 \implies p = \frac{27}{4}
]
Теперь нам нужно найти значение ( 6 \times p ):
- Если ( p = 0 ), то ( 6 \times 0 = 0 ).
- Если ( p = \frac{27}{4} ), тогда ( 6 \times \frac{27}{4} = \frac{162}{4} = 40.5 ).
Таким образом, ( 6 \times p ) равно 0 или 40.5.
Ответ в общем виде: ( 6 \times p = 0 \quad \text{или} \quad 40.5 ).
