Задание 9. Новый Год праздновали 32 сотрудника трёх отделений банка. В малом отделении сотрудников меньше, а в большом – больше, чем в среднем. Все расселись вокруг праздничного стола. Посмотрев на своего соседа справа, каждый сидящий за столом подумал:
– Солжёт тот, кто скажет, будто сидящий от меня по правую руку работает в более крупном отделении, чем я.
Среди подуманных мыслей ровно 20 оказались ошибочными. Сколько сотрудников в среднем отделе?
Чтобы решить эту задачу, давайте разберёмся с данными и условиями.
1. **Обозначения:**
- Обозначим количество сотрудников в малом отделении как \(a\).
- Обозначим количество сотрудников в среднем отделении как \(b\).
- Обозначим количество сотрудников в большом отделении как \(c\).
Из условия задачи, у нас есть общее количество сотрудников:
\[
a + b + c = 32
\]
2. **Отношение между отделениями:**
- Из условия, что в малом отделении сотрудников меньше, чем в среднем, то есть \(a < b\).
- Также, в большом отделении сотрудников больше, чем в среднем, то есть \(c > b\).
3. **Ошибочные мысли:**
Каждый сотрудник думает о том, что соседа справа (то есть другой сотрудник) поравну по размеру отделения. По условию, количество ошибочных мыслей составляет 20. Это значит, что 20 сотрудников неправильно считают, что их сосед работает в большом отделении, тогда как на самом деле он работает либо в малом, либо в среднем.
4. **Давайте проанализируем, какие ошибки могут быть:**
- Сотрудники в среднем отделении (все \(b\)) могут ошибаться в отношении соседей из других отделений. Так, если сосед из малого отделения, то это не ошибка, а если из большого — ошибка.
- Сотрудники в малом отделении могут ошибаться только о тех, кто из большого.
- Сотрудники из большого могут ошибаться только о средних.
Считаем количество ошибок:
- Каждый из \(a\) (в малом) может ошибиться, если его сосед из большего \(c\) — то есть \(c\) (большое) производит ошибки для всех малых. Из большого, в свою очередь, сосед может быть средним, что тоже неверно.
- Ошибок с малым и средним: \(b\) (в среднем) могут ошибаться только об \(c\) (в большом).
Нам нужно составить уравнение, учитывающее количество ошибок:
\[
a + b = 20
\]
5. **Система уравнений:**
У нас теперь две уравнения:
\[
\begin{cases}
a + b + c = 32 \\
a + c = 20
\end{cases}
\]
Мы можем выразить \(c\) через \(a\) и \(b\):
\[
c = 32 - (a + b) = 32 - 20 = 12
\]
Подставим \(c\) в выражение с количеством сотрудников:
\[
a + b = 20 \\
b + 12 + a = 32
\]
6. **Теперь просто вернёмся к количеству сотрудников в среднем отделении:**
\[
a + b = 20 \rightarrow b = 20 - a
\]
Далее необходимо учитывать, что \(a < b\), так что \(a < 10\). Найдём целые значения для \(b\) и \(a\), соблюдая все условия. То есть, \(b > a\).
Проверяя варианты:
- \(a = 6\), тогда \(b = 14\)
- \(a = 5\), тогда \(b = 15\)
Так как среднее отделение нужно найти, мы видим что \(b = 15\) дает решение по всем утверждениям.
Таким образом, количество сотрудников в среднем отделении составляет **15**.
