Игральную кость бросают дважды. С помощью таблицы этого эксперимента (см. с. 137, рис. 61) найдите количество благоприятствующих элементарных событий и вероятность события: a) «сумма выпавших очков равна 6»; б) «сумма выпавших очков больше чем 5»; в) «при первом броске выпадет больше очков, чем при втором»; г) «количество очков, выпавших в первый раз, и количество очков, выпавших во второй раз, различаются на 4».
Чтобы решить эту задачу, начнем с того, что при броске стандартной игральной кости есть 6 возможных исходов (где 1 - это один нижний уровень точек, а 6 - это верхний). Поскольку кость бросается дважды, мы можем описать все возможные исходы в виде таблицы, где строки будут представлять первый бросок, а столбцы - второй бросок.
Всего возможных сочетаний при двух бросках кости:
\[
6 \times 6 = 36
\]
Это общее количество элементарных событий.
Теперь рассмотрим каждое из запрашиваемых событий:
### a) Сумма выпавших очков равна 6
Чтобы найти количество благоприятствующих элементарных событий, нам нужно перечислить комбинации, сумма которых будет равна 6.
Комбинации:
1. (1, 5)
2. (2, 4)
3. (3, 3)
4. (4, 2)
5. (5, 1)
Количество благоприятствующих исходов — 5.
Теперь для вычисления вероятности:
\[
P(\text{сумма } = 6) = \frac{\text{число благоприятствующих исходов}}{\text{общее число возможных исходов}} = \frac{5}{36}
\]
### б) Сумма выпавших очков больше чем 5
Определим все комбинации, сумма которых больше 5. Это значит, что мы исключаем суммы 2, 3, 4 и 5.
- Сумма 5: (1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1) — 4 случая
- Сумма 4: (1, 3), (2, 2), (3, 1) — 3 случая
- Сумма 3: (1, 2), (2, 1) — 2 случая
- Сумма 2: (1, 1) — 1 случай
Итак, количество событий, сумма которых 5 или меньше: \(4 + 3 + 2 + 1 = 10\)
Следовательно, количество благоприятствующих событий:
\[
36 - 10 = 26
\]
Вероятность:
\[
P(\text{сумма > 5}) = \frac{26}{36} = \frac{13}{18}
\]
### в) При первом броске выпадет больше очков, чем при втором
Нам нужно найти такие комбинации, где первое число больше второго.
Комбинации:
1. (2, 1)
2. (3, 1), (3, 2)
3. (4, 1), (4, 2), (4, 3)
4. (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4)
5. (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5)
Итак, подсчитаем:
- Для 2: 1 случай
- Для 3: 2 случая
- Для 4: 3 случая
- Для 5: 4 случая
- Для 6: 5 случаев
Итого:
\[
1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15
\]
Вероятность:
\[
P(\text{первый > второй}) = \frac{15}{36} = \frac{5}{12}
\]
### г) Количество очков, выпавших в первый раз, и количество очков, выпавших во второй раз, различаются на 4
Комбинации, которые удовлетворяют этому условию:
1. (1, 5)
2. (5, 1)
3. (2, 6)
4. (6, 2)
Итого благоприятствующих комбинаций — 4.
Вероятность:
\[
P(\text{различие = 4}) = \frac{4}{36} = \frac{1}{9}
\]
### Итоговые ответы:
a) \(\frac{5}{36}\)
b) \(\frac{13}{18}\)
c) \(\frac{5}{12}\)
d) \(\frac{1}{9}\)
Эти результаты показывают вероятности для различных событий при бросках двух игральных костей.
