в партии из 15 деталей имеется 3 стандартных. наудачу отобраны 4 детали. найти вероятность того, что среди отобранных деталей равно 2 стандартных.

Для нахождения вероятности того, что среди отобранных 4 деталей будет ровно 2 стандартных, мы будем использовать формулу для вычисления вероятности событий в гипотетических экспериментах, основанную на комбинаторике.

Шаг 1: Определение данных задачи

У нас есть:

• Всего деталей: 15
• Стандартных деталей: 3
• Нестандартных деталей: \( 15 - 3 = 12 \)
• Количество отобранных деталей: 4
• Получение ровно 2 стандартных деталей среди отобранных.

Шаг 2: Комбинации

Для решения задачи воспользуемся комбинаторными формулами. Нам нужно вычислить:

1. Количество способов выбрать 2 стандартные детали из 3.
2. Количество способов выбрать 2 нестандартные детали из 12.
3. Общее количество способов выбрать 4 детали из 15.

1. Количество способов выбрать 2 стандартные детали

Используется формула для вычисления комбинаций:

\[ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n - k)!} \]

где \( n \) — общее количество элементов, \( k \) — количество выбираемых элементов.

Для стандартных деталей:

\[ C(3, 2) = \frac{3!}{2!(3 - 2)!} = \frac{3 \cdot 2 \cdot 1}{2 \cdot 1 \cdot 1} = 3 \]

2. Количество способов выбрать 2 нестандартные детали

Для нестандартных деталей:

\[ C(12, 2) = \frac{12!}{2!(12 - 2)!} = \frac{12 \cdot 11}{2 \cdot 1} = 66 \]

3. Общее количество способов выбрать 4 детали из 15

Общее количество способов выбрать 4 детали из 15:

\[ C(15, 4) = \frac{15!}{4!(15 - 4)!} = \frac{15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 1365 \]

Шаг 3: Вычисление вероятности

Теперь мы можем найти количество благоприятных исходов и общую вероятность.

Количество благоприятных исходов (выбор 2 стандартных и 2 нестандартных):

\[ \text{Благоприятные исходы} = C(3, 2) \cdot C(12, 2) = 3 \cdot 66 = 198 \]

Теперь найдем вероятность:

\[ P(\text{2 стандартных}) = \frac{\text{Благоприятные исходы}}{\text{Общее количество исходов}} = \frac{198}{1365} \]

Шаг 4: Упрощение

Теперь упростим дробь (если возможно):

\[ \frac{198}{1365} \text{ (должно быть в упрощенной форме)} \]

Здесь GCD (наибольший общий делитель) равен 3, делим числитель и знаменатель на 3:

\[ P(\text{2 стандартных}) = \frac{66}{455} \]

Ответ

Вероятность того, что среди отобранных 4 деталей будет ровно 2 стандартные, равна \( \frac{66}{455} \) или примерно 0.145.