В партии из 15 деталей имеется 3 стандартных. наудачу отобраны 4 детали. найти вероятность того, что среди отобранных деталей равно 2 стандартных.

Для нахождения вероятности того, что среди отобранных 4 деталей будет ровно 2 стандартных, мы будем использовать формулу для вычисления вероятности событий в гипотетических экспериментах, основанную на комбинаторике. ### Шаг 1: Определение данных задачи У нас есть: - Всего деталей: 15 - Стандартных деталей: 3 - Нестандартных деталей: \( 15 - 3 = 12 \) - Количество отобранных деталей: 4 - Получение ровно 2 стандартных деталей среди отобранных. ### Шаг 2: Комбинации Для решения задачи воспользуемся комбинаторными формулами. Нам нужно вычислить: 1. Количество способов выбрать 2 стандартные детали из 3. 2. Количество способов выбрать 2 нестандартные детали из 12. 3. Общее количество способов выбрать 4 детали из 15. #### 1. Количество способов выбрать 2 стандартные детали Используется формула для вычисления комбинаций: \[ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n - k)!} \] где \( n \) — общее количество элементов, \( k \) — количество выбираемых элементов. Для стандартных деталей: \[ C(3, 2) = \frac{3!}{2!(3 - 2)!} = \frac{3 \cdot 2 \cdot 1}{2 \cdot 1 \cdot 1} = 3 \] #### 2. Количество способов выбрать 2 нестандартные детали Для нестандартных деталей: \[ C(12, 2) = \frac{12!}{2!(12 - 2)!} = \frac{12 \cdot 11}{2 \cdot 1} = 66 \] #### 3. Общее количество способов выбрать 4 детали из 15 Общее количество способов выбрать 4 детали из 15: \[ C(15, 4) = \frac{15!}{4!(15 - 4)!} = \frac{15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 1365 \] ### Шаг 3: Вычисление вероятности Теперь мы можем найти количество благоприятных исходов и общую вероятность. Количество благоприятных исходов (выбор 2 стандартных и 2 нестандартных): \[ \text{Благоприятные исходы} = C(3, 2) \cdot C(12, 2) = 3 \cdot 66 = 198 \] Теперь найдем вероятность: \[ P(\text{2 стандартных}) = \frac{\text{Благоприятные исходы}}{\text{Общее количество исходов}} = \frac{198}{1365} \] ### Шаг 4: Упрощение Теперь упростим дробь (если возможно): \[ \frac{198}{1365} \text{ (должно быть в упрощенной форме)} \] Здесь GCD (наибольший общий делитель) равен 3, делим числитель и знаменатель на 3: \[ P(\text{2 стандартных}) = \frac{66}{455} \] ### Ответ Вероятность того, что среди отобранных 4 деталей будет ровно 2 стандартные, равна \( \frac{66}{455} \) или примерно 0.145.