4. В прямоугольной трапеции АВСК большая боковая сторона равна З√2 см, угол К равен 45°, а высота СН делит основание АК пополам. Найдите площадь трапеции.
Чтобы найти площадь прямоугольной трапеции, давайте обозначим основные элементы, которые указаны в задаче.
Обозначим углы и стороны треугольника:
- Трапеция АВСК, где основание АК — это меньшее основание, а основание ВС — большее.
- Высота СН делит основание АК пополам, что позволяет нам отметить точку деления в середине основания.
Давайте обозначим:
- ОС = x (длина отрезка, составляющего одно из оснований),
- поскольку высота СН делит основание АК пополам, то длина АК будет равна \(2x\).
Мы знаем, что большая боковая сторона (сторона AS) равна \(3\sqrt{2}\) см, и угол К (угол между основаниями) равен 45°. Это означает, что треугольник СНК является равнобедренным, и мы можем применить свойства 45-45-90 треугольников.
Если угол К равен 45°, это означает, что в треугольнике СНК:
- \(CN = CH\) (возвышение высоты относится к равнобедренному треугольнику).
- Поскольку высота СН делит основание пополам и угол К равен 45°, высота равна длине отрезка, который мы обозначили как x.
Теперь можем использовать теорему Пифагора для вычисления неизвестного: \[ AS^2 = CN^2 + x^2 \] Подставляя значения: \[ (3\sqrt{2})^2 = CN^2 + x^2 \] \[ 18 = CN^2 + x^2 \quad (1) \]
Из условия видно, что так как угол К равен 45°, мы можем записать: \[ CN = x \quad (2) \]
Подставим значение (2) в уравнение (1): \[ 18 = x^2 + x^2 \] \[ 18 = 2x^2 \] \[ x^2 = 9 \] \[ x = 3 \quad (длина отрезка от СН до основания АК) \]
Теперь мы можем найти длины оснований:
- Длина АК = \(2x = 6\) см,
- Длина ВС = \(CN + CH = x + x = 3 + 3 = 6\) см, поскольку высота равна стороне.
Теперь можем найти площадь трапеции по формуле: \[ S = \frac{(a + b) \cdot h}{2} \] где \(a\) и \(b\) — длины оснований, \(h\) — высота. Подставляя значения: \[ S = \frac{(6 + 6) \cdot 3}{2} = \frac{12 \cdot 3}{2} = \frac{36}{2} = 18 \text{ см}^2 \]
Таким образом, площадь трапеции АВСК равна 18 см².
