Найдите косинус угла между векторами а+b и a-b если а(7;-1) b(5;5)
Чтобы найти косинус угла между векторами \(\mathbf{a} + \mathbf{b}\) и \(\mathbf{a} - \mathbf{b}\), нам нужно сначала определить эти векторы, а затем использовать формулу для нахождения косинуса угла между ними.
Определим векторы:
\[ \mathbf{a} = (7, -1) \] \[ \mathbf{b} = (5, 5) \]
Теперь найдем векторы \(\mathbf{a} + \mathbf{b}\) и \(\mathbf{a} - \mathbf{b}\).
Сложение векторов: \[ \mathbf{a} + \mathbf{b} = (7 + 5, -1 + 5) = (12, 4) \]
Вычитание векторов: \[ \mathbf{a} - \mathbf{b} = (7 - 5, -1 - 5) = (2, -6) \]
Найдем длины (модули) векторов:
Длина вектора \(\mathbf{u} = (x_1, y_1)\) определяется как: \[ |\mathbf{u}| = \sqrt{x_1^2 + y_1^2} \]
Для вектора \(\mathbf{a} + \mathbf{b} = (12, 4)\): \[ |\mathbf{a} + \mathbf{b}| = \sqrt{12^2 + 4^2} = \sqrt{144 + 16} = \sqrt{160} = 4\sqrt{10} \]
Для вектора \(\mathbf{a} - \mathbf{b} = (2, -6)\): \[ |\mathbf{a} - \mathbf{b}| = \sqrt{2^2 + (-6)^2} = \sqrt{4 + 36} = \sqrt{40} = 2\sqrt{10} \]
Найдем скалярное произведение векторов:
Скалярное произведение векторов \(\mathbf{u} = (x_1, y_1)\) и \(\mathbf{v} = (x_2, y_2)\) вычисляется по формуле: \[ \mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = x_1 x_2 + y_1 y_2 \]
Применим это к нашим векторам: \[ (\mathbf{a} + \mathbf{b}) \cdot (\mathbf{a} - \mathbf{b}) = (12)(2) + (4)(-6) = 24 - 24 = 0 \]
Найдем косинус угла:
Косинус угла между двумя векторами определяется как: \[ \cos \theta = \frac{\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}}{|\mathbf{u}| |\mathbf{v}|} \]
Подставим значения: \[ \cos \theta = \frac{0}{(4\sqrt{10})(2\sqrt{10})} = \frac{0}{80} = 0 \]
Вывод:
Когда косинус угла равен 0, это означает, что угол между векторами равен 90 градусам. Таким образом, векторы \(\mathbf{a} + \mathbf{b}\) и \(\mathbf{a} - \mathbf{b}\) перпендикулярны.
