Дан куб АВСДА1В1С1Д1, Докажите, что ВВ1 перпендикулярна плоскости АВС

Для решения задачи докажем, что отрезок \( BB_1 \) перпендикулярен плоскости \( ABC \) в кубе \( ABCDA_1B_1C_1D_1 \).

Шаг 1: Определение элементов куба

Куб имеет следующие характеристики:

• Все ребра куба равны; обозначим длину ребра куба как \( a \).
• Куб состоит из 8 вершин, которые можно обозначить как:
  • \( A(0, 0, 0) \)
  • \( B(a, 0, 0) \)
  • \( C(a, a, 0) \)
  • \( D(0, a, 0) \)
  • \( A_1(0, 0, a) \)
  • \( B_1(a, 0, a) \)
  • \( C_1(a, a, a) \)
  • \( D_1(0, a, a) \)

Шаг 2: Установление координат

Рассмотрим точку \( B \) с координатами \( (a, 0, 0) \) и точку \( B_1 \) с координатами \( (a, 0, a) \).

Шаг 3: Уравнение плоскости

Плоскость \( ABC \) определяется тремя точками: \( A, B, C \). Для нахождения уравнения плоскости нужно найти векторные направления:

• Вектор \( \overrightarrow{AB} = B - A = (a, 0, 0) - (0, 0, 0) = (a, 0, 0) \)
• Вектор \( \overrightarrow{AC} = C - A = (a, a, 0) - (0, 0, 0) = (a, a, 0) \)

Теперь найдем нормаль к плоскости \( ABC \) с помощью векторного произведения: \[ \overrightarrow{N} = \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ a & 0 & 0 \\ a & a & 0 \end{vmatrix} = (0, 0, a^2) \] Таким образом, нормальный вектор к плоскости \( ABC \) имеет координаты \( (0, 0, a^2) \).

Шаг 4: Направление линии BB1

Линия \( BB_1 \) представлена вектором: \[ \overrightarrow{BB_1} = B_1 - B = (a, 0, a) - (a, 0, 0) = (0, 0, a) \] Этот вектор показывает направление прямой, соединяющей точки \( B \) и \( B_1 \).

Шаг 5: Проверка перпендикулярности

Два вектора перпендикулярны, если их скалярное произведение равно нулю. Проверим это для векторов \( \overrightarrow{N} \) и \( \overrightarrow{BB_1} \): \[ \overrightarrow{N} \cdot \overrightarrow{BB_1} = (0, 0, a^2) \cdot (0, 0, a) = 0 \cdot 0 + 0 \cdot 0 + a^2 \cdot a = a^3 \] Однако, обратим внимание, что нормальный вектор и вектор непосредственно по оси \( Z \) указывают на перпендикулярность.

Заключение

Так как вектор, перпендикулярный плоскости \( ABC \), и вектор \( BB_1 \) сонаправлены по оси \( Z \), мы можем уверенно утверждать, что отрезок \( BB_1 \) перпендикулярен плоскости \( ABC \).

Таким образом, доказано, что \( BB_1 \) перпендикулярен плоскости \( ABC \) в кубе.