Катер прошёл 15 км против течения и 6 км по течению, затратив на весь путь столько же времени, сколько ему потребовалось бы, если бы он шёл со скоростью 22 км по озеру, какова…

Давайте решим эту задачу шаг за шагом.

Дано:

• Расстояние против течения: \(15\) км
• Расстояние по течению: \(6\) км
• Скорость течения \(v_t = 2\) км/ч
• Скорость катера относительно воды: \(v_c\) (это то, что мы ищем)
• Скорость катера в стоячей воде: \(22\) км/ч (это скорость, которую сказано сравнить с временем пути)

Цель: Найти собственную скорость катера \(v_c\).

1. Определим скорости катера:

   • Когда катер плывёт против течения, его эффективная скорость равна \(v_c - v_t\).
   • Когда катер плывёт по течению, его эффективная скорость равна \(v_c + v_t\).

   Таким образом, имеем:

   • Скорость против течения: \(v_c - 2\)
   • Скорость по течению: \(v_c + 2\)

2. Найдем время, затраченное на каждый участок пути:

   • Время пути против течения: \[ t_1 = \frac{15}{v_c - 2} \]
   • Время пути по течению: \[ t_2 = \frac{6}{v_c + 2} \]

3. Сравнение с временем, если бы катер двигался со скоростью 22 км/ч:

   • Общее время пути: \[ t_{total} = t_1 + t_2 = \frac{15}{v_c - 2} + \frac{6}{v_c + 2} \]
   • Если бы катер двигался со скоростью \(22\) км/ч, у нас было бы: \[ t_{22} = \frac{15 + 6}{22} = \frac{21}{22} \]

4. Сравним времена: \[ \frac{15}{v_c - 2} + \frac{6}{v_c + 2} = \frac{21}{22} \]

5. Умножим уравнение на \(22(v_c - 2)(v_c + 2)\) для устранения дробей: \[ 22 \cdot 15(v_c + 2) + 22 \cdot 6(v_c - 2) = 21(v_c - 2)(v_c + 2) \] Упрощаем: \[ 330(v_c + 2) + 132(v_c - 2) = 21(v_c^2 - 4) \] \[ 330v_c + 660 + 132v_c - 264 = 21v_c^2 - 84 \] \[ 462v_c + 396 = 21v_c^2 - 84 \]

6. Соберём все члены в одной части уравнения: \[ 21v_c^2 - 462v_c - 480 = 0 \]

7. Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac = (-462)^2 - 4 \cdot 21 \cdot (-480) \] \[ D = 213444 + 40320 = 253764 \]

8. Находим корни уравнения: \[ v_c = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \] \[ v_c = \frac{462 \pm \sqrt{253764}}{42} \]

9. Вычислим значение \( \sqrt{253764} \) и подставим его в формулу: \[ \sqrt{253764} \approx 503.75 \] \[ v_c \approx \frac{462 \pm 503.75}{42} \] Выбираем положительное значение, так как скорость не может быть отрицательной: \[ v_c \approx \frac{965.75}{42} \approx 22.98 \text{ км/ч} \]

Таким образом, собственная скорость катера составляет примерно \(23\) км/ч.