Катер прошёл 15 км против течения и 6 км по течению, затратив на весь путь столько же времени, сколько ему потребовалось бы, если бы он шёл со скоростью 22 км по озеру, какова собственная скорость катера, если известно, что скорость течения реки равна 2 км/ч

Давайте решим эту задачу шаг за шагом. **Дано:** - Расстояние против течения: \(15\) км - Расстояние по течению: \(6\) км - Скорость течения \(v_t = 2\) км/ч - Скорость катера относительно воды: \(v_c\) (это то, что мы ищем) - Скорость катера в стоячей воде: \(22\) км/ч (это скорость, которую сказано сравнить с временем пути) **Цель:** Найти собственную скорость катера \(v_c\). 1. **Определим скорости катера:** - Когда катер плывёт против течения, его эффективная скорость равна \(v_c - v_t\). - Когда катер плывёт по течению, его эффективная скорость равна \(v_c + v_t\). Таким образом, имеем: - Скорость против течения: \(v_c - 2\) - Скорость по течению: \(v_c + 2\) 2. **Найдем время, затраченное на каждый участок пути:** - Время пути против течения: \[ t_1 = \frac{15}{v_c - 2} \] - Время пути по течению: \[ t_2 = \frac{6}{v_c + 2} \] 3. **Сравнение с временем, если бы катер двигался со скоростью 22 км/ч:** - Общее время пути: \[ t_{total} = t_1 + t_2 = \frac{15}{v_c - 2} + \frac{6}{v_c + 2} \] - Если бы катер двигался со скоростью \(22\) км/ч, у нас было бы: \[ t_{22} = \frac{15 + 6}{22} = \frac{21}{22} \] 4. **Сравним времена:** \[ \frac{15}{v_c - 2} + \frac{6}{v_c + 2} = \frac{21}{22} \] 5. **Умножим уравнение на \(22(v_c - 2)(v_c + 2)\) для устранения дробей:** \[ 22 \cdot 15(v_c + 2) + 22 \cdot 6(v_c - 2) = 21(v_c - 2)(v_c + 2) \] Упрощаем: \[ 330(v_c + 2) + 132(v_c - 2) = 21(v_c^2 - 4) \] \[ 330v_c + 660 + 132v_c - 264 = 21v_c^2 - 84 \] \[ 462v_c + 396 = 21v_c^2 - 84 \] 6. **Соберём все члены в одной части уравнения:** \[ 21v_c^2 - 462v_c - 480 = 0 \] 7. **Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта:** \[ D = b^2 - 4ac = (-462)^2 - 4 \cdot 21 \cdot (-480) \] \[ D = 213444 + 40320 = 253764 \] 8. **Находим корни уравнения:** \[ v_c = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \] \[ v_c = \frac{462 \pm \sqrt{253764}}{42} \] 9. **Вычислим значение \( \sqrt{253764} \) и подставим его в формулу:** \[ \sqrt{253764} \approx 503.75 \] \[ v_c \approx \frac{462 \pm 503.75}{42} \] Выбираем положительное значение, так как скорость не может быть отрицательной: \[ v_c \approx \frac{965.75}{42} \approx 22.98 \text{ км/ч} \] Таким образом, собственная скорость катера составляет примерно \(23\) км/ч.