Для того чтобы найти вероятность того, что при 80 бросках монеты ровно 40 раз выпадет решка, можно воспользоваться формулой биномиального распределения. В данном случае:
- ( n = 80 ) (общее количество бросков);
- ( k = 40 ) (количество успешных исходов – в нашем случае выпадение решки);
- ( p = \frac{1}{2} ) (вероятность выпадения решки в одном броске, так как монета симметричная).
Вероятность того, что ровно ( k ) раз из ( n ) будет успехом, вычисляется по формуле:
[
P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot (1 - p)^{n - k}
]
где ( C(n, k) ) – это биномиальный коэффициент, который вычисляется по формуле:
[
C(n, k) = \frac{n!}{k! \cdot (n - k)!}
]
Подставим значения:
[
P(X = 40) = C(80, 40) \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{40} \cdot \left(1 - \frac{1}{2}\right)^{80 - 40}
]
Поскольку ( (1 - p) = \frac{1}{2} ), это можно записать как:
[
P(X = 40) = C(80, 40) \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{40} \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{40} = C(80, 40) \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{80}
]
Таким образом, полное выражение для вероятности того, что при 80 бросках монеты ровно 40 раз выпадет решка, будет:
[
P(X = 40) = C(80, 40) \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{80}
]
Теперь необходимо вычислить биномиальный коэффициент ( C(80, 40) ), чтобы получить численное значение вероятности.
