1/(х-3)^2 - 6/х-3 -16=0

Для решения уравнения

\[ \frac{1}{(x - 3)^2} - \frac{6}{x - 3} - 16 = 0 \]

начнем с подстановки. Обозначим \( y = x - 3 \). Тогда уравнение примет следующий вид:

\[ \frac{1}{y^2} - \frac{6}{y} - 16 = 0 \]

Теперь умножим все уравнение на \( y^2 \) (так как \( y \neq 0 \), это не приведет к потере корней):

\[ 1 - 6y - 16y^2 = 0 \]

Перепишем это уравнение в стандартной форме:

\[ -16y^2 - 6y + 1 = 0 \]

Теперь умножим на -1, чтобы упростить коэффициенты:

\[ 16y^2 + 6y - 1 = 0 \]

Поскольку мы имеем квадратное уравнение, решим его с помощью формулы корней квадратного уравнения:

\[ y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]

где \( a = 16 \), \( b = 6 \), \( c = -1 \). Подставим эти значения:

1. Вычислим дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4 \cdot 16 \cdot (-1) = 36 + 64 = 100 \]

2. Теперь подставим дискриминант в формулу корней:

\[ y = \frac{-6 \pm \sqrt{100}}{2 \cdot 16} \]

Вычисляем корень из дискриминанта и продолжаем:

\[ y = \frac{-6 \pm 10}{32} \]

Теперь найдем два возможных значения для \( y \):

1. Первое значение:

\[ y_1 = \frac{-6 + 10}{32} = \frac{4}{32} = \frac{1}{8} \]

2. Второе значение:

\[ y_2 = \frac{-6 - 10}{32} = \frac{-16}{32} = -\frac{1}{2} \]

Теперь вернемся к переменной \( x \) с учетом того, что \( y = x - 3 \):

1. Для \( y_1 = \frac{1}{8} \):

\[ x - 3 = \frac{1}{8} \implies x = 3 + \frac{1}{8} = \frac{24}{8} + \frac{1}{8} = \frac{25}{8} \]

2. Для \( y_2 = -\frac{1}{2} \):

\[ x - 3 = -\frac{1}{2} \implies x = 3 - \frac{1}{2} = \frac{6}{2} - \frac{1}{2} = \frac{5}{2} \]

Таким образом, у нас есть два решения для исходного уравнения:

\[ x_1 = \frac{25}{8}, \quad x_2 = \frac{5}{2} \]

Эти значения можно проверить, подставив обратно в исходное уравнение, чтобы убедиться, что они верны.