1/(х-3)^2 - 6/х-3 -16=0

Для решения уравнения \[ \frac{1}{(x - 3)^2} - \frac{6}{x - 3} - 16 = 0 \] начнем с подстановки. Обозначим \( y = x - 3 \). Тогда уравнение примет следующий вид: \[ \frac{1}{y^2} - \frac{6}{y} - 16 = 0 \] Теперь умножим все уравнение на \( y^2 \) (так как \( y \neq 0 \), это не приведет к потере корней): \[ 1 - 6y - 16y^2 = 0 \] Перепишем это уравнение в стандартной форме: \[ -16y^2 - 6y + 1 = 0 \] Теперь умножим на -1, чтобы упростить коэффициенты: \[ 16y^2 + 6y - 1 = 0 \] Поскольку мы имеем квадратное уравнение, решим его с помощью формулы корней квадратного уравнения: \[ y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] где \( a = 16 \), \( b = 6 \), \( c = -1 \). Подставим эти значения: 1. Вычислим дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4 \cdot 16 \cdot (-1) = 36 + 64 = 100 \] 2. Теперь подставим дискриминант в формулу корней: \[ y = \frac{-6 \pm \sqrt{100}}{2 \cdot 16} \] Вычисляем корень из дискриминанта и продолжаем: \[ y = \frac{-6 \pm 10}{32} \] Теперь найдем два возможных значения для \( y \): 1. Первое значение: \[ y_1 = \frac{-6 + 10}{32} = \frac{4}{32} = \frac{1}{8} \] 2. Второе значение: \[ y_2 = \frac{-6 - 10}{32} = \frac{-16}{32} = -\frac{1}{2} \] Теперь вернемся к переменной \( x \) с учетом того, что \( y = x - 3 \): 1. Для \( y_1 = \frac{1}{8} \): \[ x - 3 = \frac{1}{8} \implies x = 3 + \frac{1}{8} = \frac{24}{8} + \frac{1}{8} = \frac{25}{8} \] 2. Для \( y_2 = -\frac{1}{2} \): \[ x - 3 = -\frac{1}{2} \implies x = 3 - \frac{1}{2} = \frac{6}{2} - \frac{1}{2} = \frac{5}{2} \] Таким образом, у нас есть два решения для исходного уравнения: \[ x_1 = \frac{25}{8}, \quad x_2 = \frac{5}{2} \] Эти значения можно проверить, подставив обратно в исходное уравнение, чтобы убедиться, что они верны.