Найдите площадь треугольника A B C , если A B = 8 см, A C = 12 ⋅ √ 2 см, ∠ A = 45 0 .

Чтобы найти площадь треугольника ABC, где известны две стороны и угол между ними, используем формулу для площади треугольника через стороны и угол:

\[ S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin(C) \]

где:

• \( S \) — площадь треугольника,
• \( a \) и \( b \) — длины сторон,
• \( C \) — угол между этими сторонами.

В нашем случае:

• \( A B = 8 \, \text{см} \) (это будет одна из сторон, обозначим её как \( a \)),
• \( A C = 12 \sqrt{2} \, \text{см} \) (это будет другая сторона, обозначим её как \( b \)),
• угол \( \angle A = 45^\circ \).

Теперь подставим данные в формулу:

1. Вычислим \(\sin(45^\circ)\). Значение \(\sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}\).

2. Подставим все известные значения в формулу:

\[ S = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 12\sqrt{2} \cdot \sin(45^\circ) \]

\[ S = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 12\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \]

3. Упростим выражение:

\[ S = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 12 \cdot \frac{2}{2} = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 12 \]

4. Дальше упрощаем:

\[ S = \frac{1}{2} \cdot 96 = 48 \, \text{см}^2 \]

Итак, площадь треугольника ABC равна \( 48 \, \text{см}^2 \).