Для решения этой задачи нам нужно использовать формулы для определения скорости, времени и расстояния.
Дадим краткое объяснение:
- Скорость (V): это то, как быстро объект перемещается, измеряется в км/ч (километрах в час).
- Время (t): это то, сколько времени требуется для выполнения задачи, измеряется в часах.
- Расстояние (S): это то, сколько путь проходит объект, измеряется в километрах.
Известно, что:
- Расстояние от пункта А до пункта В составляет ( S = 288 ) км.
- Скорость течения реки составляет ( V_t = 4 ) км/ч.
- Время на обратный путь меньше на 3 часа.
Обозначим:
- ( V_c ) — собственная скорость катера (в км/ч).
- ( V_{вниз} = V_c + V_t ) — скорость катера по течению (вниз по реке).
- ( V_{вверх} = V_c - V_t ) — скорость катера против течения (вверх по реке).
Шаг 1: Найдем время движения по течению
Сначала вычисляем время, затраченное катером, чтобы добраться из А в В:
[
t_{вниз} = \frac{S}{V_{вниз}} = \frac{288}{V_c + 4}
]
Шаг 2: Найдем время движения против течения
Теперь вычисляем время, затраченное на обратный путь (из В в А):
[
t_{вверх} = \frac{S}{V_{вверх}} = \frac{288}{V_c - 4}
]
Шаг 3: Записываем уравнение
По условию задачи, время на возврат меньше на 3 часа:
[
t_{вверх} = t_{вниз} - 3
]
Подставляем наши выражения для времени:
[
\frac{288}{V_c - 4} = \frac{288}{V_c + 4} - 3
]
Шаг 4: Упростим уравнение
Умножим все части уравнения на ( (V_c - 4)(V_c + 4) ) (чтобы избавиться от дробей):
[
288(V_c + 4) = 288(V_c - 4) - 3(V_c - 4)(V_c + 4)
]
Раскроем скобки:
[
288V_c + 1152 = 288V_c - 1152 - 3(V_c^2 - 16)
]
Упрощая, получаем:
[
1152 + 1152 + 3V_c^2 - 48 = 0
]
[
3V_c^2 - 48 + 2304 = 0
]
Шаг 5: Переписываем и упрощаем
[
3V_c^2 + 2304 - 48 = 0
]
[
3V_c^2 + 2304 = 0
]
Это уравнение можно решить относительно ( V_c ):
[
V_c^2 = 48
]
Теперь выразим ( V_c ):
[
V_c = \sqrt{48}
]
[
V_c = 4 \sqrt{3} \approx 6.93 \text{ км/ч}
]
Ответ
Собственная скорость катера составляет примерно 6,93 км/ч.
