Три равные окружности с радиусом  12 12 касаются друг друга внешним образом. Найди периметр треугольника, вершинами которого являются точки касания этих окружностей. Запиши в поле ответа верное число.

Чтобы найти периметр треугольника, вершинами которого являются точки касания трех равных окружностей, начнем с анализа задачи. 1. **Обозначим окружности**: Пусть каждая окружность имеет радиус \( R = 12 \) единиц. Окружности касаются друг друга внешним образом. 2. **Координаты центров окружностей**: Обозначим центры окружностей как \( O_1 \), \( O_2 \) и \( O_3 \). Если разместить окружности в координатной плоскости, допустим, \( O_1 \) будет находиться в точке \( (0, 0) \), \( O_2 \) — в точке \( (24, 0) \) (так как расстояние между центрами будет равным \( 2R = 24 \)), а \( O_3 \) будет находиться в точке, которая будет равноведена к двум другим окружностям вершиной равностороннего треугольника. 3. **Определим координаты точки \( O_3 \)**: Центр \( O_3 \) будет находиться на высоте от оси X (в пределах окружности). Высота может быть найдена с помощью теоремы Пифагора: \[ d = 24 \text{ (расстояние между } O_1 \text{ и } O_2\text{)}, \] Побочный катет (высота от \( O_3 \) до прямой между \( O_1 \) и \( O_2 \)) равен \(\sqrt{R^2 - (R/2)^2}\). То есть, \[ O_3 = \left( 12, \sqrt{12^2 - 12^2/4} \right) = \left( 12, \sqrt{144 - 36} \right) = \left( 12, \sqrt{108} \right) = (12, 6\sqrt{3}). \] 4. **Находим длины сторон треугольника**: Теперь можно найти длины сторон треугольника с вершинами в точках касания окружностей. Длины между точками касания окружностей равны расстояниям между центрами минус два радиуса (поскольку касания происходят лишь на линии, которой не хватает до центра радиуса в точке касания). Все три стороны треугольника будут равны \( 2R \): \[ a = b = c = 24. \] 5. **Находим периметр треугольника**: Периметр треугольника можно найти сложением всех сторон: \[ P = a + b + c = 24 + 24 + 24 = 72. \] Итак, периметр треугольника, вершинами которого являются точки касания окружностей, равен \( 72 \).