Для решения этой задачи нам нужно выяснить скорость течения реки, используя данные о расстоянии и скорости катера. Давайте разобьём задачу на шаги и подробно её разберем.
Данные задачи:
- Расстояние от пункта A до пункта B: ( 72 ) км.
- Время, проведённое в пункте B: ( 30 ) минут = ( 0,5 ) часа.
- Общее время от отправления из пункта A до возвращения в A: ( 7,5 ) часов.
- Собственная скорость катера: ( 21 ) км/ч.
1. Находим время в пути.
Давайте определим, сколько времени катер тратит на путешествие от A до B и обратно. Поскольку общее время составляет 7,5 часов и в пути катер провел 0,5 часа на пункта B, то время в пути можно вычислить следующим образом:
[
t_{\text{в пути}} = 7,5 \text{ часов} - 0,5 \text{ часов} = 7 \text{ часов}
]
2. Обозначаем скорость течения.
Пусть скорость течения реки равняется ( v ) км/ч. Тогда, когда катер движется по течению, его скорость составляет ( 21 + v ) км/ч, а когда он движется против течения — ( 21 - v ) км/ч.
3. Находим время в пути от A до B и обратно.
Сначала вычислим время, потраченное на путь от A до B:
[
t_{AB} = \frac{S}{V} = \frac{72}{21 + v}
]
А затем вычислим время, потраченное на путь от B до A:
[
t_{BA} = \frac{S}{V} = \frac{72}{21 - v}
]
4. Суммируем времена в пути.
Суммарное время в пути от A до B и обратно равно 7 часам:
[
t_{AB} + t_{BA} = 7
]
Следовательно:
[
\frac{72}{21 + v} + \frac{72}{21 - v} = 7
]
5. Упрощаем уравнение.
Решим данное уравнение. Сначала упростим его, умножив обе стороны на ( (21 + v)(21 - v) ):
[
72(21 - v) + 72(21 + v) = 7(21 + v)(21 - v)
]
Раскроем скобки:
[
72 \cdot 21 - 72v + 72 \cdot 21 + 72v = 7(21^2 - v^2)
]
[
144 \cdot 21 = 7(441 - v^2)
]
Теперь, подставим значение 21:
[
3024 = 3087 - 7v^2
]
[
7v^2 = 3087 - 3024
]
[
7v^2 = 63
]
[
v^2 = 9 \implies v = 3 \text{ (взяли положительное значение, так как скорость не может быть отрицательной)}
]
Ответ:
Скорость течения реки составляет 3 км/ч.
Таким образом, мы нашли ответ, опираясь на заданные условия и пошагово проведя все вычисления.
