Катер прошёл от пункта A до пункта B , расстояние между которыми составляет 72 км, пробыл в пункте B 30 минут и вернулся обратно в пункт A через 7,5 часов после отплытия из пункта…

Для решения этой задачи нам нужно выяснить скорость течения реки, используя данные о расстоянии и скорости катера. Давайте разобьём задачу на шаги и подробно её разберем.

Данные задачи:

• Расстояние от пункта A до пункта B: \( 72 \) км.
• Время, проведённое в пункте B: \( 30 \) минут = \( 0,5 \) часа.
• Общее время от отправления из пункта A до возвращения в A: \( 7,5 \) часов.
• Собственная скорость катера: \( 21 \) км/ч.

1. Находим время в пути.

Давайте определим, сколько времени катер тратит на путешествие от A до B и обратно. Поскольку общее время составляет 7,5 часов и в пути катер провел 0,5 часа на пункта B, то время в пути можно вычислить следующим образом:

\[ t_{\text{в пути}} = 7,5 \text{ часов} - 0,5 \text{ часов} = 7 \text{ часов} \]

2. Обозначаем скорость течения.

Пусть скорость течения реки равняется \( v \) км/ч. Тогда, когда катер движется по течению, его скорость составляет \( 21 + v \) км/ч, а когда он движется против течения — \( 21 - v \) км/ч.

3. Находим время в пути от A до B и обратно.

Сначала вычислим время, потраченное на путь от A до B: \[ t_{AB} = \frac{S}{V} = \frac{72}{21 + v} \]

А затем вычислим время, потраченное на путь от B до A: \[ t_{BA} = \frac{S}{V} = \frac{72}{21 - v} \]

4. Суммируем времена в пути.

Суммарное время в пути от A до B и обратно равно 7 часам: \[ t_{AB} + t_{BA} = 7 \] Следовательно: \[ \frac{72}{21 + v} + \frac{72}{21 - v} = 7 \]

5. Упрощаем уравнение.

Решим данное уравнение. Сначала упростим его, умножив обе стороны на \( (21 + v)(21 - v) \): \[ 72(21 - v) + 72(21 + v) = 7(21 + v)(21 - v) \]

Раскроем скобки: \[ 72 \cdot 21 - 72v + 72 \cdot 21 + 72v = 7(21^2 - v^2) \] \[ 144 \cdot 21 = 7(441 - v^2) \]

Теперь, подставим значение 21: \[ 3024 = 3087 - 7v^2 \] \[ 7v^2 = 3087 - 3024 \] \[ 7v^2 = 63 \] \[ v^2 = 9 \implies v = 3 \text{ (взяли положительное значение, так как скорость не может быть отрицательной)} \]

Ответ:

Скорость течения реки составляет 3 км/ч.

Таким образом, мы нашли ответ, опираясь на заданные условия и пошагово проведя все вычисления.