При каком значении параметра а сумма квадратов корней уравнения x2 + 4ах - 7 = 0 является наименьшей?

Чтобы найти значение параметра \( a \), при котором сумма квадратов корней уравнения \( x^2 + 4ax - 7 = 0 \) является наименьшей, решим задачу шаг за шагом.

Шаг 1: Найдем корни уравнения

Для уравнения вида \( Ax^2 + Bx + C = 0 \) корни можно найти по формуле:

\[ x_{1,2} = \frac{-B \pm \sqrt{D}}{2A} \]

где \( D \) — дискриминант, \( D = B^2 - 4AC \).

В нашем уравнении:

• \( A = 1 \)
• \( B = 4a \)
• \( C = -7 \)

Таким образом, дискриминант \( D \) будет равен:

\[ D = (4a)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-7) = 16a^2 + 28 \]

Шаг 2: Найдем сумму квадратов корней

Согласно свойству, сумма корней \( x_1 + x_2 \) и произведение корней \( x_1 \cdot x_2 \) для квадратного уравнения можно выразить через коэффициенты:

• \( x_1 + x_2 = -\frac{B}{A} = -4a \)
• \( x_1 x_2 = \frac{C}{A} = -7 \)

Сумма квадратов корней \( x_1^2 + x_2^2 \) может быть выражена через сумму корней и их произведение:

\[ x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1 x_2 \]

Подставим выражения:

\[ x_1^2 + x_2^2 = (-4a)^2 - 2(-7) = 16a^2 + 14 \]

Шаг 3: Найдем минимальное значение суммы квадратов

Теперь у нас есть функция суммы квадратов:

\[ S(a) = 16a^2 + 14 \]

Эта функция является квадратичной и открывается вверх (поскольку коэффициент при \( a^2 \) положителен). Минимальное значение у этой функции достигается в точке, где производная равна нулю. Для квадратичной функции минимальная точка находится в вершине параболы:

\[ a_{\text{min}} = -\frac{b}{2a} = -\frac{0}{2 \cdot 16} = 0 \]

Шаг 4: Подставим значение

Теперь подставим \( a = 0 \) в функцию \( S(a) \):

\[ S(0) = 16(0)^2 + 14 = 14 \]

Таким образом, сумма квадратов корней уравнения будет наименьшей, когда \( a = 0 \), и в этом случае она равна 14.

Ответ

При \( a = 0 \) сумма квадратов корней уравнения \( x^2 + 4ax - 7 = 0 \) является наименьшей и равна 14.