Чтобы найти значение параметра ( a ), при котором сумма квадратов корней уравнения ( x^2 + 4ax - 7 = 0 ) является наименьшей, решим задачу шаг за шагом.
Шаг 1: Найдем корни уравнения
Для уравнения вида ( Ax^2 + Bx + C = 0 ) корни можно найти по формуле:
[
x_{1,2} = \frac{-B \pm \sqrt{D}}{2A}
]
где ( D ) — дискриминант, ( D = B^2 - 4AC ).
В нашем уравнении:
- ( A = 1 )
- ( B = 4a )
- ( C = -7 )
Таким образом, дискриминант ( D ) будет равен:
[
D = (4a)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-7) = 16a^2 + 28
]
Шаг 2: Найдем сумму квадратов корней
Согласно свойству, сумма корней ( x_1 + x_2 ) и произведение корней ( x_1 \cdot x_2 ) для квадратного уравнения можно выразить через коэффициенты:
- ( x_1 + x_2 = -\frac{B}{A} = -4a )
- ( x_1 x_2 = \frac{C}{A} = -7 )
Сумма квадратов корней ( x_1^2 + x_2^2 ) может быть выражена через сумму корней и их произведение:
[
x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1 x_2
]
Подставим выражения:
[
x_1^2 + x_2^2 = (-4a)^2 - 2(-7) = 16a^2 + 14
]
Шаг 3: Найдем минимальное значение суммы квадратов
Теперь у нас есть функция суммы квадратов:
[
S(a) = 16a^2 + 14
]
Эта функция является квадратичной и открывается вверх (поскольку коэффициент при ( a^2 ) положителен). Минимальное значение у этой функции достигается в точке, где производная равна нулю. Для квадратичной функции минимальная точка находится в вершине параболы:
[
a_{\text{min}} = -\frac{b}{2a} = -\frac{0}{2 \cdot 16} = 0
]
Шаг 4: Подставим значение
Теперь подставим ( a = 0 ) в функцию ( S(a) ):
[
S(0) = 16(0)^2 + 14 = 14
]
Таким образом, сумма квадратов корней уравнения будет наименьшей, когда ( a = 0 ), и в этом случае она равна 14.
Ответ
При ( a = 0 ) сумма квадратов корней уравнения ( x^2 + 4ax - 7 = 0 ) является наименьшей и равна 14.
