Чтобы найти площадь поверхности прямой треугольной призмы, нужно сначала рассчитать площадь основания и боковые поверхности призмы.
Шаг 1: Найдем площадь основания
Основанием призмы является прямоугольный треугольник с катетами 9 и 12. Площадь прямоугольного треугольника можно вычислить по формуле:
[
S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b,
]
где (a) и (b) — длины катетов.
Подставим наши значения:
[
S = \frac{1}{2} \cdot 9 \cdot 12 = \frac{1}{2} \cdot 108 = 54.
]
Итак, площадь основания (S_{основания} = 54) квадратных единиц.
Шаг 2: Найдем площадь боковых граней
Боковые поверхности призмы являются прямоугольниками. У нас есть три боковые грани, которые необходимо рассчитать:
Первая боковая грань: Это прямоугольник со сторонами одной из катетов и высотой призмы:
- Длина = 9 (катет)
- Высота = 14
Площадь этой грани:
[
S_1 = 9 \cdot 14 = 126.
]
Вторая боковая грань: Это прямоугольник с другой катетом и высотой призмы:
- Длина = 12 (катет)
- Высота = 14
Площадь этой грани:
[
S_2 = 12 \cdot 14 = 168.
]
Третья боковая грань: Это прямоугольник с длиной гипотенузы треугольника и высотой призмы. Сначала нам нужно вычислить гипотенузу:
Гипотенуза (c) вычисляется по теореме Пифагора:
[
c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{9^2 + 12^2} = \sqrt{81 + 144} = \sqrt{225} = 15.
]
Площадь этой грани:
[
S_3 = 15 \cdot 14 = 210.
]
Шаг 3: Сложим все площади
Теперь найдем общую площадь поверхности призмы, складывая площади двух оснований и трех боковых граней:
[
S_{поверхности} = 2 \cdot S_{основания} + S_1 + S_2 + S_3.
]
Подставим значения:
[
S_{поверхности} = 2 \cdot 54 + 126 + 168 + 210 = 108 + 126 + 168 + 210.
]
Теперь сложим:
[
S_{поверхности} = 108 + 126 = 234,
]
[
234 + 168 = 402,
]
[
402 + 210 = 612.
]
Ответ
Таким образом, площадь поверхности прямой треугольной призмы составляет 612 квадратных единиц.
