Один из углов прямоугольного треугольника равен 60°,а сумма гипотенузы и меньшего катета равна 36см.Найдите гипотенузу и меньший катет.
Для решения задачи давайте обозначим известные величины и проанализируем треугольник.
- Постановка задачи: У нас есть прямоугольный треугольник, в котором один из углов равен 60°. Обозначим:
- гипотенуза \( c \)
- меньший катет \( a \)
- больший катет \( b \)
Согласно условию, сумма гипотенузы и меньшего катета равна 36 см: \[ c + a = 36 \quad (1) \]
- Определение катетов: В прямоугольном треугольнике с углом 60° мы можем использовать тригонометрические соотношения:
- \( \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} \)
- \( \cos(60^\circ) = \frac{1}{2} \)
Но в нашем случае удобнее использовать закона синусов, чтобы выразить катеты через гипотенузу. Мы знаем, что: \[ \sin(60^\circ) = \frac{a}{c} \quad \Rightarrow \quad a = c \cdot \sin(60^\circ) = c \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \quad (2) \] \[ \cos(60^\circ) = \frac{b}{c} \quad \Rightarrow \quad b = c \cdot \cos(60^\circ) = c \cdot \frac{1}{2} \quad (3) \]
Подстановка выражений в уравнение: Теперь мы можем подставить выражение для \( a \) (из уравнения (2)) в уравнение (1): \[ c + \frac{c \cdot \sqrt{3}}{2} = 36 \] Находим общий знаменатель: \[ c + \frac{c \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{2c + c \cdot \sqrt{3}}{2} = 36 \] Умножим обе стороны на 2: \[ 2c + c \cdot \sqrt{3} = 72 \] Вынесем \( c \) за скобку: \[ c (2 + \sqrt{3}) = 72 \] Теперь разделим на \( (2 + \sqrt{3}) \): \[ c = \frac{72}{2 + \sqrt{3}} \]
Упрощение и расчет значения гипотенузы: Чтобы упростить это выражение, умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение \( (2 - \sqrt{3}) \): \[ c = \frac{72(2 - \sqrt{3})}{(2 + \sqrt{3})(2 - \sqrt{3})} \] В знаменателе получаем: \[ (2 + \sqrt{3})(2 - \sqrt{3}) = 4 - 3 = 1 \] Таким образом, \[ c = 72(2 - \sqrt{3}) \quad \approx 72(2 - 1.732) \approx 72(0.268) \approx 19.34 \text{ см} \]
Поиск меньшего катета: Теперь можем найти \( a \): \[ a = c \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 19.34 \cdot \frac{1.732}{2} \approx 19.34 \cdot 0.866 \approx 16.76 \text{ см} \]
Ответ:
- Гипотенуза \( c \approx 19.34 \) см.
- Меньший катет \( a \approx 16.76 \) см.
Таким образом, гипотенуза составляет приблизительно 19.34 см, а меньший катет — приблизительно 16.76 см.
