Даны два события А и В, и известны некоторые вероятности:Р(A)=0,2,Р(В)=0,8 и P (A П B) =0,15 Во всех четырёх фигурах на диаграмме Эйлера расставьте вероятности соответствующих событийДаны два события А и В, и известны некоторые вероятности: P(A) = 0,2, P(B) = 0,8 и P(A N В) = 0,15. Во всех четырёх фигурах на диаграмме Эйлера расставьте вероятности соответствующих событий. №2. Симметричную монету бросают 3 раза. Рассмотрите события «в первый раз выпал орёл» и «решка выпала дважды». a) Являются ли эти события независимыми? б) найдите вероятность объединения этих событий. №3. В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в каждом одном автомате закончится кофе, равна 0,2. Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах, равна 0,06. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется ровно в одном из автоматов. На диаграмме Эйлера расставьте вероятности соответствующих событий.

Давайте последовательно разберём каждую из задач. ### Задача 1: Вероятности событий A и B Даны вероятности: - \( P(A) = 0.2 \) - \( P(B) = 0.8 \) - \( P(A \cap B) = 0.15 \) Для решения этой задачи мы можем вычислить следующие вероятности, чтобы заполнить диаграмму Эйлера: 1. **Вероятность события A, не пересекающегося с B:** Это вероятность, что произошло событие A, но событие B не произошло: \[ P(A \setminus B) = P(A) - P(A \cap B) = 0.2 - 0.15 = 0.05 \] 2. **Вероятность события B, не пересекающегося с A:** Это вероятность, что произошло событие B, но событие A не произошло: \[ P(B \setminus A) = P(B) - P(A \cap B) = 0.8 - 0.15 = 0.65 \] 3. **Вероятность, что ни одно из событий A и B не произошло:** Мы можем рассчитать это, учитывая, что вероятность, что хотя бы одно из событий происходит (объединение): \[ P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) = 0.2 + 0.8 - 0.15 = 0.85 \] Тогда вероятность, что ни одно из событий не произошло, равна: \[ P(\text{не } A \text{ и не } B) = 1 - P(A \cup B) = 1 - 0.85 = 0.15 \] Теперь, исходя из полученных значений, мы можем заполнить диаграмму Эйлера: - \( P(A \setminus B) = 0.05 \) - \( P(B \setminus A) = 0.65 \) - \( P(A \cap B) = 0.15 \) - \( P(\text{не } A \text{ и не } B) = 0.15 \) ### Задача 2: Броски монеты **События:** - \( E_1 \): «в первый раз выпал орёл». - \( E_2 \): «решка выпала дважды». **a)** Проверим независимость событий \( E_1 \) и \( E_2 \). Сначала найдем вероятности каждого события: - Вероятность \( E_1 \): вероятность того, что выпал орёл в первом броске = \( \frac{1}{2} \). - Вероятность \( E_2 \): вероятность того, что решка выпала дважды. Существует 8 возможных исходов при трех бросках: - ООО, ООР, ОРО, ОРГ, РОО, РОР, РРО, РРР - Вероятности: только ООЕ (2 решки) = 3 исхода (О, Р, Р) и 1 исход (Р, Р, О) = \( 3 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^3 = 0.375 \). Теперь, проверяем независимость: \[ P(E_1 \cap E_2) = P(E_1) \cdot P(E_2) \] В данном случае, если первый раз выпал орёл, это не влияет на вероятность того, что решка выпадет дважды: \[ P(E_1 \cap E_2) = P(E_2 | E_1) \cdot P(E_1) \] Проверяем: \[ P(E_2) = 0.375, \quad P(E_1) = 0.5 \] Сравниваем: \[ P(E_1) \cdot P(E_2) = 0.5 \cdot 0.375 = 0.1875 \] Таким образом, **события не независимы**. **b)** Вероятность объединения событий \( E_1 \) и \( E_2 \): \[ P(E_1 \cup E_2) = P(E_1) + P(E_2) - P(E_1 \cap E_2) \] Используя найденные вероятности: \[ P(E_1 \cup E_2) = 0.5 + 0.375 - P(E_1 \cap E_2) \] Итак: - Предполагаем \( P(E_1 \cap E_2) \) - вероятности пересечений. ### Задача 3: Вероятности автоводов Вероятность того, что кофе закончится в одном автомате: - \( P(A) = 0.2 \) - \( P(B) = 0.2 \) - \( P(A \cap B) = 0.06 \) Нам нужно найти инвертированную вероятность: \[ P(\text{Кофе закончится в одном автомате}) = P(A \text{ и не } B) + P(B \text{ и не } A) \] = \( P(A) (1 - P(B)) + P(B) (1 - P(A)) = 0.2 × 0.8 + 0.2 × 0.8 = 0.16 + 0.16 = 0.32 \). Проведя расчеты и диаграмму Эйлера, мы можем также отобразить: - Вероятность "Один автомат" в одном месте. Если вам нужно что-то уточнить по любым частям, дайте знать!