Моторная лодка прошла против течения реки 77 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 2 часа меньше, чем на путь против течения. Найдите скорость лодки в…

Для решения данной задачи мы обозначим скорость лодки в неподвижной воде как \( v \) (в км/ч). Скорость течения реки обозначена в задаче и равна 4 км/ч.

Шаг 1: Определим скорости

1. Против течения: Когда лодка движется против течения, её скорость становится равной \( v - 4 \) км/ч.
2. По течению: Когда лодка возвращается по течению, её скорость становится равной \( v + 4 \) км/ч.

Шаг 2: Время в пути

Зная, что расстояние составило 77 км, мы можем определить время, затраченное на каждую часть пути, по формуле времени: \[ t = \frac{S}{V} \] где \( S \) — расстояние, \( V \) — скорость.

1. Время в пути против течения: \[ t_1 = \frac{77}{v - 4} \]

2. Время в пути по течению: \[ t_2 = \frac{77}{v + 4} \]

Шаг 3: Условие задачи

Согласно условию задачи, время на обратный путь (по течению) на 2 часа меньше, чем время в путь против течения: \[ t_2 = t_1 - 2 \]

Подставим найденные выражения для времени в это уравнение: \[ \frac{77}{v + 4} = \frac{77}{v - 4} - 2 \]

Шаг 4: Упростим уравнение

1. Умножим обе части уравнения на \( (v - 4)(v + 4) \) (чтобы избавиться от дробей) и получим: \[ 77(v - 4) = 77(v + 4) - 2(v - 4)(v + 4) \]

2. Раскроем скобки и упростим уравнение: \[ 77v - 308 = 77v + 308 - 2(v^2 - 16) \] \[ 77v - 308 = 77v + 308 - 2v^2 + 32 \]

3. Сократим \( 77v \) с обеих сторон: \[ -308 = 308 - 2v^2 + 32 \] \[ -308 = 340 - 2v^2 \]

Шаг 5: Решим квадратное уравнение

Переносим все в одну сторону: \[ 2v^2 = 340 + 308 \] \[ 2v^2 = 648 \] \[ v^2 = 324 \]

Теперь извлекаем корень: \[ v = 18 \text{ км/ч} \]

Ответ

Скорость лодки в неподвижной воде равна 18 км/ч.