Петя записал на доске несколько натуральных чисел, Ира под ними написала их квадраты, а Таня сложила все числа и получила 2013, докажите, что 1 из девочек ошиблась.

Давайте подробно разберем данную задачу.

1. Обозначим числа и их квадраты. Пусть Petya записал \( n \) натуральных чисел, обозначим их как \( a_1, a_2, a_3, \ldots, a_n \). Тогда Ира записала их квадраты: \( a_1^2, a_2^2, a_3^2, \ldots, a_n^2 \).

2. Сумма чисел. Согласно условию, сумма всех натуральных чисел, записанных Петей, равна 2013: \[ S = a_1 + a_2 + \ldots + a_n = 2013 \]

3. Сумма квадратов. Теперь давайте рассмотрим сумму квадратов, которую написала Ира: \[ Q = a_1^2 + a_2^2 + \ldots + a_n^2 \]

4. Неравенство квадратов и линейной суммы. Из неравенства между арифметическим и геометрическим средним знаем, что: \[ \frac{a_1 + a_2 + \ldots + a_n}{n} \geq \sqrt[n]{a_1^2 a_2^2 \ldots a_n^2} \] Также мы используем неравенство: \[ a_1^2 + a_2^2 + \ldots + a_n^2 \geq \frac{(a_1 + a_2 + \ldots + a_n)^2}{n} \] Подставим \( S \): \[ Q \geq \frac{2013^2}{n} \]

5. Значения \( n \). Мы должны проверить возможные значения \( n \). Поскольку все числа \( a_i \) натуральные, минимальная сумма \( S \) для \( n = 1 \) это 2013 и максимальная (что невозможно) при \( n \) стремящемся к бесконечности.

6. Рассмотрим крайние случаи.

   • Если \( n = 1 \), тогда \( Q = 2013^2 = 4052169 \).
   • Если \( n = 2 \), самообман: \( a_1 + a_2=2013 \), числа могут быть (1, 2012) или (2,2011) и так далее, однако сумма квадратов будет значительно больше, чем сумма между чисел предложенные. То есть, вероятность что Ира ошиблась велика.

7. Проверяем сумму квадратов. Итак, вскоре мы видим, что даже при самом благоприятном сценарии, сумма квадратов \( Q \) всегда значительно больше \( 2013 \), проверяем на примере:

   1. Если \( n = 2 \):
      • Числа: 1 и 2012 => \( 1^2 + 2012^2 = 1 + 4048144 = 4048145 \)
   2. Если \( n = 3 \):
      • Это можно проверить и так, например числа 670, 670, 673.

Таким образом, ответ: Да, действительно, одна из девочек ошиблась. Наиболее вероятнее всего, что Ира написала неправильную сумму квадратов, так как \( Q \) значительно превышает 2013 в любом случае.