Петя записал на доске несколько натуральных чисел, Ира под ними написала их квадраты, а Таня сложила все числа и получила 2013, докажите, что 1 из девочек ошиблась.
Давайте подробно разберем данную задачу.
1. **Обозначим числа и их квадраты.** Пусть Petya записал \( n \) натуральных чисел, обозначим их как \( a_1, a_2, a_3, \ldots, a_n \). Тогда Ира записала их квадраты: \( a_1^2, a_2^2, a_3^2, \ldots, a_n^2 \).
2. **Сумма чисел.** Согласно условию, сумма всех натуральных чисел, записанных Петей, равна 2013:
\[
S = a_1 + a_2 + \ldots + a_n = 2013
\]
3. **Сумма квадратов.** Теперь давайте рассмотрим сумму квадратов, которую написала Ира:
\[
Q = a_1^2 + a_2^2 + \ldots + a_n^2
\]
4. **Неравенство квадратов и линейной суммы.** Из неравенства между арифметическим и геометрическим средним знаем, что:
\[
\frac{a_1 + a_2 + \ldots + a_n}{n} \geq \sqrt[n]{a_1^2 a_2^2 \ldots a_n^2}
\]
Также мы используем неравенство:
\[
a_1^2 + a_2^2 + \ldots + a_n^2 \geq \frac{(a_1 + a_2 + \ldots + a_n)^2}{n}
\]
Подставим \( S \):
\[
Q \geq \frac{2013^2}{n}
\]
5. **Значения \( n \).** Мы должны проверить возможные значения \( n \). Поскольку все числа \( a_i \) натуральные, минимальная сумма \( S \) для \( n = 1 \) это 2013 и максимальная (что невозможно) при \( n \) стремящемся к бесконечности.
6. **Рассмотрим крайние случаи.**
- Если \( n = 1 \), тогда \( Q = 2013^2 = 4052169 \).
- Если \( n = 2 \), самообман: \( a_1 + a_2=2013 \), числа могут быть (1, 2012) или (2,2011) и так далее, однако сумма квадратов будет значительно больше, чем сумма между чисел предложенные. То есть, вероятность что Ира ошиблась велика.
7. **Проверяем сумму квадратов.**
Итак, вскоре мы видим, что даже при самом благоприятном сценарии, сумма квадратов \( Q \) всегда значительно больше \( 2013 \), проверяем на примере:
1. Если \( n = 2 \):
- Числа: 1 и 2012 => \( 1^2 + 2012^2 = 1 + 4048144 = 4048145 \)
2. Если \( n = 3 \):
- Это можно проверить и так, например числа 670, 670, 673.
Таким образом, ответ: Да, действительно, одна из девочек ошиблась. Наиболее вероятнее всего, что Ира написала неправильную сумму квадратов, так как \( Q \) значительно превышает 2013 в любом случае.
