Диагональ прямоугольного параллелепипеда с плоскостью основания образует угол 60° стороны основания равны 8 и 15 см. Вычисли высоту параллелепипеда.
Для того чтобы вычислить высоту прямоугольного параллелепипеда, с заданными сторонами основания и углом, образуемым диагональю с плоскостью основания, следуем следующим шагам.
Определим стороны основания: Пусть длины сторон основания равны \( a = 8 \) см и \( b = 15 \) см.
Найдем диагональ основания: Диагональ прямоугольника (основания) можно вычислить по формуле: \[ d = \sqrt{a^2 + b^2} \] Подставим значения: \[ d = \sqrt{8^2 + 15^2} = \sqrt{64 + 225} = \sqrt{289} = 17 \text{ см} \]
Используем угол и диагональ для нахождения высоты: Из условия задачи известно, что угол между диагональю параллелепипеда и плоскостью основания равен \( 60° \). Обозначим высоту параллелепипеда как \( h \).
В этом случае, используя тригонометрию, мы можем записать: \[ \cos(60°) = \frac{d}{\sqrt{d^2 + h^2}} \] Зная, что \( \cos(60°) = \frac{1}{2} \), подставляем в уравнение: \[ \frac{1}{2} = \frac{17}{\sqrt{17^2 + h^2}} \]
Решим уравнение: Умножим обе стороны на \( \sqrt{17^2 + h^2} \): \[ \frac{1}{2} \sqrt{17^2 + h^2} = 17 \] Умножим обе стороны на 2: \[ \sqrt{17^2 + h^2} = 34 \] Возводим в квадрат обе стороны: \[ 17^2 + h^2 = 34^2 \] Подставляем известные значения: \[ 289 + h^2 = 1156 \] Переносим 289 в правую часть: \[ h^2 = 1156 - 289 = 867 \] Теперь извлечем корень из \( h^2 \): \[ h = \sqrt{867} \]
Вычисляем значение: Приблизительно: \[ h \approx 29.4 \text{ см} \]
Таким образом, высота параллелепипеда составляет примерно \( 29.4 \) см.
