Для решения этой задачи начнем с анализа электрической цепи.
Согласно условию задачи, у нас есть 3 последовательных резистора и 1 параллельный резистор. Обозначим сопротивление каждого резистора как ( R ).
Шаг 1: Определим эквивалентное сопротивление последовательного соединения
Когда резисторы соединены последовательно, общее (эквивалентное) сопротивление вычисляется по формуле:
[
R_{\text{пос}} = R_1 + R_2 + R_3
]
Так как у нас 3 резистора, имеющих одинаковое сопротивление ( R ):
[
R_{\text{пос}} = R + R + R = 3R
]
Шаг 2: Определим эквивалентное сопротивление параллельного соединения
Для параллельного соединения сопротивление считается по формуле:
[
\frac{1}{R_{\text{параллельное}}} = \frac{1}{R_a} + \frac{1}{R_b}
]
Здесь ( R_a ) и ( R_b ) — сопротивления резисторов, соединенных параллельно. В нашем случае один из резисторов уже соединен последовательно (сопротивление ( R_{\text{пос}} = 3R )), а второй резистор будет иметь сопротивление ( R ):
[
\frac{1}{R_{\text{параллельное}}} = \frac{1}{3R} + \frac{1}{R}
]
Чтобы сложить эти дроби, найдем общий знаменатель. Общий знаменатель здесь — ( 3R ):
[
\frac{1}{R_{\text{параллельное}}} = \frac{1}{3R} + \frac{3}{3R} = \frac{4}{3R}
]
Теперь, обратим дробь, чтобы найти ( R_{\text{параллельное}} ):
[
R_{\text{параллельное}} = \frac{3R}{4}
]
Шаг 3: Найдем общее сопротивление цепи
Теперь, у нас есть одно общее сопротивление для последовательной и параллельной части:
[
R_{\text{общ}} = R_{\text{пос}} + R_{\text{параллельное}} = 3R + \frac{3R}{4}
]
Чтобы сложить эти сопротивления, представим ( 3R ) в виде дроби с общим знаменателем 4:
[
3R = \frac{12R}{4}
]
Теперь можем сложить:
[
R_{\text{общ}} = \frac{12R}{4} + \frac{3R}{4} = \frac{15R}{4}
]
Шаг 4: Используем данное значение общего сопротивления
Дано, что общее сопротивление ( R_{\text{общ}} = 5 , \Omega ):
[
\frac{15R}{4} = 5
]
Теперь, умножим обе стороны уравнения на 4:
[
15R = 20
]
Теперь разделим обе стороны на 15:
[
R = \frac{20}{15} = \frac{4}{3} , \Omega
]
Ответ
Таким образом, сопротивление каждого резистора ( R ) равно ( \frac{4}{3} , \Omega ).
