Решить

Для решения данных задач воспользуемся правилами дифференцирования и анализа функций. Рассмотрим каждую задачу по порядку.

1. Найдите производную функции:

a) \( y = x^7 + 4x - 2\sqrt{x} + 1 \)

Чтобы найти производную, применим правила дифференцирования:

1. Производная от \( x^n \) равна \( nx^{n-1} \).
2. Производная от константы равна 0.
3. Производная от \( \sqrt{x} \) равна \( \frac{1}{2\sqrt{x}} \).

Решение:

• Производная от \( x^7 \) равна \( 7x^6 \).
• Производная от \( 4x \) равна \( 4 \).
• Производная от \( -2\sqrt{x} \) равна \( -2 \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = -\frac{1}{\sqrt{x}} \).
• Производная от константы 1 равна 0.

Общая производная:

\[ y' = 7x^6 + 4 - \frac{1}{\sqrt{x}} \]

б) \( y = (x - 4)(x + 4) \)

Используем правило произведения и упростим выражение:

1. Раскроем скобки:

\[ y = x^2 - 16 \]

Теперь найдем производную:

• Производная от \( x^2 \) равна \( 2x \).
• Производная от \(-16\) равна 0.

Общая производная:

\[ y' = 2x \]

2. Исследуйте функцию на точки максимума и минимума.

Дана функция \( y = 3x^2 - x^3 \).

Чтобы исследовать на экстремумы, найдем критические точки:

1. Найдем производную:

\[ y' = 6x - 3x^2 \]

2. Найдем точки, где \( y' = 0 \):

\[ 6x - 3x^2 = 0 \\ 3x(2 - x) = 0 \]

Эти уравнения дают:

\( x = 0 \) или \( x = 2 \).

3. Найдем вторую производную для проверки на максимум или минимум:

\[ y'' = 6 - 6x \]

Подставим найденные \( x \):

• Для \( x = 0 \):

  \( y''(0) = 6 - 6 \times 0 = 6 > 0 \) (минимум).

• Для \( x = 2 \):

  \( y''(2) = 6 - 6 \times 2 = -6 < 0 \) (максимум).

Итак, точки экстремума:

• Минимум в \( x = 0 \).
• Максимум в \( x = 2 \).