Решить

Для решения данных задач воспользуемся правилами дифференцирования и анализа функций. Рассмотрим каждую задачу по порядку. ### 1. Найдите производную функции: #### a) \( y = x^7 + 4x - 2\sqrt{x} + 1 \) Чтобы найти производную, применим правила дифференцирования: 1. Производная от \( x^n \) равна \( nx^{n-1} \). 2. Производная от константы равна 0. 3. Производная от \( \sqrt{x} \) равна \( \frac{1}{2\sqrt{x}} \). Решение: - Производная от \( x^7 \) равна \( 7x^6 \). - Производная от \( 4x \) равна \( 4 \). - Производная от \( -2\sqrt{x} \) равна \( -2 \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = -\frac{1}{\sqrt{x}} \). - Производная от константы 1 равна 0. Общая производная: \[ y' = 7x^6 + 4 - \frac{1}{\sqrt{x}} \] #### б) \( y = (x - 4)(x + 4) \) Используем правило произведения и упростим выражение: 1. Раскроем скобки: \[ y = x^2 - 16 \] Теперь найдем производную: - Производная от \( x^2 \) равна \( 2x \). - Производная от \(-16\) равна 0. Общая производная: \[ y' = 2x \] ### 2. Исследуйте функцию на точки максимума и минимума. Дана функция \( y = 3x^2 - x^3 \). Чтобы исследовать на экстремумы, найдем критические точки: 1. Найдем производную: \[ y' = 6x - 3x^2 \] 2. Найдем точки, где \( y' = 0 \): \[ 6x - 3x^2 = 0 \\ 3x(2 - x) = 0 \] Эти уравнения дают: \( x = 0 \) или \( x = 2 \). 3. Найдем вторую производную для проверки на максимум или минимум: \[ y'' = 6 - 6x \] Подставим найденные \( x \): - Для \( x = 0 \): \( y''(0) = 6 - 6 \times 0 = 6 > 0 \) (минимум). - Для \( x = 2 \): \( y''(2) = 6 - 6 \times 2 = -6 < 0 \) (максимум). Итак, точки экстремума: - Минимум в \( x = 0 \). - Максимум в \( x = 2 \).