y=-√x y=-1/x, x=1/2 x=2

Давайте решим систему уравнений и проанализируем графики функций \(y = -\sqrt{x}\) и \(y = -\frac{1}{x}\) на заданном интервале значений \(x\) от \(\frac{1}{2}\) до \(2\).

Шаг 1: Построение графиков функций

1. Функция \(y = -\sqrt{x}\)

   • Эта функция определена для \(x \geq 0\).
   • Поскольку знак минус перед корнем, график будет располагаться ниже оси абсцисс.
   • В некоторых точках:
     • При \(x = 0\): \(y = -\sqrt{0} = 0\)
     • При \(x = \frac{1}{2}\): \(y = -\sqrt{\frac{1}{2}} \approx -0.707\)
     • При \(x = 1\): \(y = -\sqrt{1} = -1\)
     • При \(x = 2\): \(y = -\sqrt{2} \approx -1.414\)

2. Функция \(y = -\frac{1}{x}\)

   • Эта функция определена для \(x > 0\).
   • Эта функция также располагается ниже оси абсцисс, и её значение стремится к нулю, когда \(x\) увеличивается.
   • В некоторых точках:
     • При \(x = \frac{1}{2}\): \(y = -\frac{1}{\frac{1}{2}} = -2\)
     • При \(x = 1\): \(y = -\frac{1}{1} = -1\)
     • При \(x = 2\): \(y = -\frac{1}{2} = -0.5\)

Шаг 2: Построение основной системы координат

При построении графиков на одном рисунке, вы можете заметить, что функции пересекают ось \(y\) в разных значениях.

Шаг 3: Пересечение функций

Для нахождения точек пересечения, приравняем функции:

\[ -\sqrt{x} = -\frac{1}{x} \]

Убираем знак минус:

\[ \sqrt{x} = \frac{1}{x} \]

Теперь возводим обе стороны в квадрат:

\[ x = \frac{1}{x^2} \]

Умножаем обе стороны на \(x^2\) (помните, что \(x > 0\)):

\[ x^3 = 1 \]

Отсюда:

\[ x = 1 \]

Теперь подставим это значение в любое из уравнений для нахождения \(y\):

\[ y = -\sqrt{1} = -1 \] или \[ y = -\frac{1}{1} = -1 \]

Таким образом, точка пересечения функций: \((1, -1)\).

Шаг 4: Значения функций на интервале

• Когда \(x = \frac{1}{2}\):

  • \(y = -\sqrt{\frac{1}{2}} \approx -0.707\)
  • \(y = -2\)

• Когда \(x = 1\):

  • Обе функции дают \(y = -1\).

• Когда \(x = 2\):

  • \(y = -\sqrt{2} \approx -1.414\)
  • \(y = -0.5\)

Заключение

• Функция \(y = -\sqrt{x}\) принимает значения приближающиеся к нулю при \(x = 0\) и убывает вниз на заданном интервале.
• Функция \(y = -\frac{1}{x}\) также убывает к нулю с увеличением \(x\).
• Они пересекаются в точке \((1, -1)\) на интервале от \(\frac{1}{2}\) до \(2\).

Теперь вы понимаете, как анализировать и пересекать графики функций! Если есть дополнительные вопросы или нужна помощь с другими задачами, дайте знать!