Чтобы решить задачу о том, сколько способов посетитель может выбрать 3 горячих блюда из 8 и 2 салата из 5, мы будем использовать комбинации.
Шаг 1: Выбор горячих блюд
Сначала узнаем, сколько способов можно выбрать 3 горячих блюда из 8. Формула для вычисления количества сочетаний (комбинаций) выглядит следующим образом:
[
C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!}
]
где:
- ( n ) — общее количество предметов (в нашем случае 8 горячих блюд),
- ( k ) — количество предметов, которые нужно выбрать (в нашем случае 3).
Подставим значения в формулу:
[
C(8, 3) = \frac{8!}{3!(8-3)!} = \frac{8!}{3!5!}
]
Теперь вычислим факториалы:
[
8! = 8 \times 7 \times 6 \times 5! \quad \text{(оставляем } 5! \text{, так как оно сократится)}
]
Заменим ( 8! ) в формуле:
[
C(8, 3) = \frac{8 \times 7 \times 6}{3!}
]
Теперь вычислим ( 3! ):
[
3! = 3 \times 2 \times 1 = 6
]
Подставим это значение:
[
C(8, 3) = \frac{8 \times 7 \times 6}{6} = 8 \times 7 = 56
]
Шаг 2: Выбор салатов
Теперь вычислим количество способов выбрать 2 салата из 5. Используем ту же формулу:
[
C(5, 2) = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5!}{2!3!}
]
Сократим:
[
C(5, 2) = \frac{5 \times 4}{2!}
]
Теперь вычислим ( 2! ):
[
2! = 2 \times 1 = 2
]
Подставим это значение:
[
C(5, 2) = \frac{5 \times 4}{2} = 10
]
Шаг 3: Общее количество способов
Теперь, чтобы найти общее количество вариантов выбора, нужно перемножить количество способов выбора горячих блюд и салатов:
[
\text{Общее количество способов} = C(8, 3) \times C(5, 2) = 56 \times 10 = 560
]
Ответ
Посетитель может выбрать 3 горячих блюда и 2 салата 560 способами.
