ресторане посетителю на выбор предлагают 8 видов горячего и 5 видов салата. Сколькими способами он может выбрать из них 3 горячих и 2 салата?

Чтобы решить задачу о том, сколько способов посетитель может выбрать 3 горячих блюда из 8 и 2 салата из 5, мы будем использовать комбинации.

Шаг 1: Выбор горячих блюд

Сначала узнаем, сколько способов можно выбрать 3 горячих блюда из 8. Формула для вычисления количества сочетаний (комбинаций) выглядит следующим образом:

\[ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \]

где:

• \( n \) — общее количество предметов (в нашем случае 8 горячих блюд),
• \( k \) — количество предметов, которые нужно выбрать (в нашем случае 3).

Подставим значения в формулу:

\[ C(8, 3) = \frac{8!}{3!(8-3)!} = \frac{8!}{3!5!} \]

Теперь вычислим факториалы:

\[ 8! = 8 \times 7 \times 6 \times 5! \quad \text{(оставляем } 5! \text{, так как оно сократится)} \]

Заменим \( 8! \) в формуле:

\[ C(8, 3) = \frac{8 \times 7 \times 6}{3!} \]

Теперь вычислим \( 3! \):

\[ 3! = 3 \times 2 \times 1 = 6 \]

Подставим это значение:

\[ C(8, 3) = \frac{8 \times 7 \times 6}{6} = 8 \times 7 = 56 \]

Шаг 2: Выбор салатов

Теперь вычислим количество способов выбрать 2 салата из 5. Используем ту же формулу:

\[ C(5, 2) = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5!}{2!3!} \]

Сократим:

\[ C(5, 2) = \frac{5 \times 4}{2!} \]

Теперь вычислим \( 2! \):

\[ 2! = 2 \times 1 = 2 \]

Подставим это значение:

\[ C(5, 2) = \frac{5 \times 4}{2} = 10 \]

Шаг 3: Общее количество способов

Теперь, чтобы найти общее количество вариантов выбора, нужно перемножить количество способов выбора горячих блюд и салатов:

\[ \text{Общее количество способов} = C(8, 3) \times C(5, 2) = 56 \times 10 = 560 \]

Ответ

Посетитель может выбрать 3 горячих блюда и 2 салата 560 способами.