В прямоугольном параллелепипеде АБСДА1Б1С1Д1 известны длины ребер АБ = 16 АД=21 АА1=28. Найти площадь сечения параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки А Б и С1
Для решения задачи найдем площадь сечения параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки \( A \), \( B \) и \( C_1 \).
Шаги решения:
Определим точки:
Параллелепипед \( ABCDA_1B_1C_1D_1 \) имеет следующие ребра:- \( AB = 16 \)
- \( AD = 21 \)
- \( AA_1 = 28 \)
Определим вид сечения: Плоскость проходит через три точки \( A \), \( B \) и \( C_1 \). В прямоугольном параллелепипеде плоскость, соединяющая одну вершину с диагональной противоположной вершиной на верхней базе, образует треугольное сечение.
Найдем координаты точек:
- \( A(0, 0, 0) \)
- \( B(16, 0, 0) \)
- \( C_1(16, 21, 28) \)
Векторное произведение: Для нахождения площади треугольника используем векторное произведение:
\[ \overrightarrow{AB} = (16, 0, 0) \]
\[ \overrightarrow{AC_1} = (16, 21, 28) \]
Векторное произведение \(\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC_1}\):
\[ \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC_1} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 16 & 0 & 0 \\ 16 & 21 & 28 \end{vmatrix} \]
\[ = \mathbf{i}(0 \cdot 28 - 0 \cdot 21) - \mathbf{j}(16 \cdot 28 - 0 \cdot 16) + \mathbf{k}(16 \cdot 21 - 0 \cdot 16) \]
\[ = (0, -448, 336) \]
Длина векторного произведения:
\[ |\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC_1}| = \sqrt{0^2 + (-448)^2 + 336^2} = \sqrt{200704 + 112896} = \sqrt{313600} = 560 \]
Площадь треугольника:
Площадь треугольника равна половине длины векторного произведения:
\[ S = \frac{1}{2} \times 560 = 280 \]
Ответ:
Площадь сечения параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки \( A \), \( B \) и \( C_1 \), равна 280.
