x(x+1) = (x-7) (7x+2)

Чтобы решить уравнение \(x(x+1) = (x-7)(7x+2)\), давайте посмотрим на оба выражения с обеих сторон уравнения и упростим их.

Шаг 1: Раскроем скобки

Левую часть:
\(x(x + 1)\) можно упростить следующим образом: \[ x(x + 1) = x^2 + x \]

Правую часть:
Теперь раскроем скобки в правой части \((x - 7)(7x + 2)\): \[ (x - 7)(7x + 2) = x \cdot 7x + x \cdot 2 - 7 \cdot 7x - 7 \cdot 2 = 7x^2 + 2x - 49x - 14 \]

Объединим подобные члены: \[ 7x^2 + 2x - 49x - 14 = 7x^2 - 47x - 14 \]

Теперь у нас есть следующее уравнение: \[ x^2 + x = 7x^2 - 47x - 14 \]

Шаг 2: Привести все к одной стороне

Переносим всё на одну сторону уравнения, чтобы получить стандартный вид квадратного уравнения: \[ x^2 + x - 7x^2 + 47x + 14 = 0 \] Соберем подобные члены: \[ -6x^2 + 48x + 14 = 0 \]

Для удобства упростим уравнение, умножив его на -1: \[ 6x^2 - 48x - 14 = 0 \]

Шаг 3: Используем квадратное уравнение

Теперь у нас есть квадратное уравнение вида \(ax^2 + bx + c = 0\), где \(a = 6\), \(b = -48\), \(c = -14\).

Чтобы найти корни уравнения, воспользуемся формулой: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]

Шаг 4: Рассчитаем дискриминант

Сначала найдем дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = (-48)^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-14) = 2304 + 336 = 2640 \]

Шаг 5: Найдем корни уравнения

Теперь подставим значения в формулу: \[ x = \frac{48 \pm \sqrt{2640}}{12} \]

Рассчитаем \(\sqrt{2640}\): \[ \sqrt{2640} \approx 51.385 \]

Теперь подставим это значение: \[ x_1 = \frac{48 + 51.385}{12} \approx \frac{99.385}{12} \approx 8.282 \] \[ x_2 = \frac{48 - 51.385}{12} \approx \frac{-3.385}{12} \approx -0.282 \]

Ответ

Таким образом, корни уравнения:

• \(x_1 \approx 8.282\)
• \(x_2 \approx -0.282\)

Если есть дополнительные вопросы или требуется углубленное объяснение какого-то из шагов, дайте знать!